Determine o valor de m para que a EDO
((3-m) x y^3+m y^4+3)+((13-m^2) x^2y^4+(2 m^2-70) x y^3) d yd x=0
seja exata.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
(3-m)x,y^3+m,y^4+3 ;+;gl(13-m^2y^4,x^2+(2m^2-70),x,y^3gr)dydx=0
e pede o valor de m para que ela seja exata. Lembrando que uma equação de forma
M(x,y)+N(x,y),dydx=0
é exata se e somente se
partial Mpartial y=partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=(3-m)x,y^3+m,y^4+3,
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partial Mpartial y =(3-m),xcdot 3y^2+mcdot 4y^3 =(9-3m),x,y^2+4m,y^3

Passo 3

Identificamos
N(x,y)=13-m^2y^4,x^2+(2m^2-70),x,y^3,
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partial Npartial x =213-m^2y^4,x+(2m^2-70),y^3

Passo 4

Para exatidão impomos
(9-3m),x,y^2+4m,y^3 ;=; 213-m^2y^4,x+(2m^2-70),y^3
Como isso deve valer para todo x,y, comparamos coeficientes dos monômios distintos:
  1. Do termo x,y^2: 9-3m=0Rightarrow m=3
  2. Do termo x,y^-4: 2(13-m^2)=0Rightarrow m^2=13Rightarrow m=pmraiz13
  3. Do termo y^3: 4m=2m^2-70 ;Longrightarrow; 2m^2-4m-70=0 ;Longrightarrow; m^2-2m-35=0 ;Longrightarrow; m=7;ou;m=-5

Passo 5

Vimos que para exatidão teríamos de satisfazer simultaneamente
m=3, m=pmraiz13, m=7 ou -5,
o que é impossível.

Resposta

Não existe valor de m que torne a EDO exata.

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