Resolva as EDOs abaixo usando um fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você mandou:
. O conteúdo aqui envolve EDOs e o uso de fator integrante para resolver. Vamos precisar entender como rearranjar essa equação para aplicar o fator integrante corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar
isolado. A equação dada é:
Vamos mover o termo com
para o outro lado:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando:
Passo 3
Observamos que a equação resultante:
é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Definimos:
Agora, calculamos
:
Vamos substituir
na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação original:
Simplificando cada termo:
Como
, substituímos:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 6
Identificamos a equação linear:
com
e
.
Para resolver, precisamos calcular o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Ou, de forma mais simples:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.