Resolva as EDOs abaixo usando um fator integrante:
(12 x^2 y-30 x^4 y^3)-8 x^3 d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você mandou: (12 x^2 y - 30 x^4 y^3) -8 x^3 d yd x=0. O conteúdo aqui envolve EDOs e o uso de fator integrante para resolver. Vamos precisar entender como rearranjar essa equação para aplicar o fator integrante corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para deixar dydx isolado. A equação dada é:
(12 x^2 y - 30 x^4 y^3) -8 x^3 d yd x=0
Vamos mover o termo com dydx para o outro lado:
-8 x^3 dydx = -12 x^2 y + 30 x^4 y^3
Agora, dividimos ambos os lados por -8x^3 para isolar dydx:
dydx = 12 x^2 y - 30 x^4 y^38 x^3
Simplificando:
dydx = 32x y - 154 x y^3

Passo 3

Observamos que a equação resultante:
dydx = 32x y - 154 x y^3
é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
Aqui, P(x) = 32x, Q(x) = -154 x e n = 3.

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Definimos:
v = y^1 - n = y^-2
Agora, calculamos dvdx:
dvdx = -2 y^-3 dydx
Vamos substituir dydx na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação original:
dvdx = -2 y^-3 ( 32x y - 154 x y^3 )
Simplificando cada termo:
dvdx = -2 y^-3 cdot 32x y + (-2 y^-3) cdot ( -154 x y^3 )
dvdx = -3 x^-1 y^-2 + 152 x
Como v = y^-2, substituímos:
dvdx + 3x v = 152 x
Agora, temos uma equação linear em termos de v.

Passo 6

Identificamos a equação linear:
dvdx + P(x) v = Q(x)
com P(x) = 3x e Q(x) = 152 x.
Para resolver, precisamos calcular o fator integrante mu(x):
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 3x dx = e^3 ln x = x^3

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pela mu(x) = x^3:
x^3 dvdx + x^3 cdot 3x v = x^3 cdot 152 x
Simplificando:
x^3 dvdx + 3x^2 v = 152 x^4
O lado esquerdo agora é a derivada de x^3 v:
ddx (x^3 v) = 152 x^4

Passo 8

Integrando ambos os lados:
integral ddx (x^3 v) dx = integral 152 x^4 dx
Isso resulta em:
x^3 v = 152 cdot x^55 + C = 32 x^5 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para v:
v = 32 x^2 + Cx^3
Lembrando que v = y^-2:
y^-2 = 32 x^2 + Cx^3

Passo 10

Finalmente, resolvemos para y:
y = ( 32 x^2 + Cx^3 )^-1/2
Ou, de forma mais simples:
y = 1raiz 32 x^2 + Cx^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1raiz 32 x^2 + Cx^3
onde C é uma constante arbitrária.

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