Resolva as EDOs abaixo usando um fator integrante:
(-2 x^5+y x^4)+(2 x^4 y+x^5+6 x^4 e^3 y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO na forma M(x,y)+N(x,y)dydx=0 com
M(x,y)=-2x^5 + y,x^4,
N(x,y)=2x^4y + x^5 + 6x^4e^3y
Vamos verificar se é exata e, caso não seja, buscar um fator integrante.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=x^4, partial Npartial x=8x^3y + 5x^4 + 24x^3e^3y
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa apenas de x. Avaliamos
partial Mpartial y-partial Npartial xN =x^4 - (8x^3y+5x^4+24x^3e^3y)x^4(2y+x+6e^3y) =-4x,
que é função só de x. Logo
mu(x)=expl(integral -tfrac4x,dxr) =x^-4

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por mu(x)=x^-4, obtendo
M^*(x,y)=-2x+y, N^*(x,y)=2y+x+6e^3y,
e a nova equação exata M^*+N^*,dydx=0.

Passo 5

Verificamos exatidão:
partial M^*partial y=1, partial N^*partial x=1,
então a equação é exata.

Passo 6

Procuramos Psi(x,y) tal que
partialPsipartial x=M^*=-2x+y, partialPsipartial y=N^*=2y+x+6e^3y
Integrando em x:
Psi(x,y)=integral(-2x+y),dx=-x^2+xy + h(y)
Então
partialPsipartial y =x + h'(y) stackrel!=2y+x+6e^3y ;Longrightarrow; h'(y)=2y+6e^3y,
e integrando em y:
h(y)=y^2+2e^3y
Logo
Psi(x,y)=-x^2+xy+y^2+2e^3y

Passo 7

A solução geral implícita vem de
Psi(x,y)=C,
isto é
-x^2 + xy + y^2 + 2e^3y = C

Resposta

-x^2 + xy + y^2 + 2e^3y = C

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