Resolva as EDOs abaixo:

Passo 1

No enunciado temos a EDO (9 x^2 y^4 + 150(3 x - y)^4) + (12 x^3 y^3 - 50(3 x - y)^4) dydx = 0. Esse tipo de equação pode ser escrito na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde
M(x,y)=9x2y4+150(3x-y)^4 e N(x,y)=12x3y3-50(3x-y)^4. Vamos verificar se é exata.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=36x^2y^3-600(3x-y)^3,
e
partial Npartial x=36x^2y^3-600(3x-y)^3
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y) em relação a x:
integral(9x^2y^4+150(3x-y)^4),dx=3x^3y^4+10(3x-y)^5+h(y)
Logo, a função potencial é
psi(x,y)=3x^3y^4+10(3x-y)^5+h(y)

Passo 4

Derivando psi em relação a y e igualando a N(x,y):
psiy=12x^3y^3-50(3x-y)^4+h'(y)=N(x,y)=12x^3y^3-50(3x-y)^4,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 5

Portanto a solução geral implícita é dada por psi(x,y)=C, ou seja:

Passo 6

Resposta

3x^3y^4+10(3x-y)^5=C

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