Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
\frac{d P}{d t}=P(a-b P) ; P=\frac{a c_{1} e^{a t}}{1+b c_{1} e^{a t}}, a, c_{1} cons-
tantes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
P(t)=\frac{a\,c_{1}\,e^{a t}}{1+b\,c_{1}\,e^{a t}}
satisfaz a equação diferencial logística
\frac{dP}{dt}=P\,(a - b\,P),
onde a, b e c_{1} são constantes. Vamos usar a regra do quociente para calcular \tfrac{dP}{dt} e depois comparar com P(a - bP).

Passo 2

Calculemos \tfrac{dP}{dt} por regra do quociente. Definindo
N(t)=a\,c_{1}\,e^{a t}, \qquad D(t)=1+b\,c_{1}\,e^{a t},
temos
\frac{dN}{dt}=a^{2}\,c_{1}\,e^{a t}, \qquad \frac{dD}{dt}=b\,c_{1}\,a\,e^{a t}.
Logo,
\frac{dP}{dt} =\frac{N'(t)\,D(t)-N(t)\,D'(t)}{[D(t)]^{2}} =\frac{a^{2}c_{1}e^{a t}(1+b\,c_{1}e^{a t})-a\,c_{1}e^{a t}(b\,c_{1}a\,e^{a t})}{(1+b\,c_{1}e^{a t})^{2}}.
Os termos com b\,c_{1}^{2}e^{2a t} cancelam, restando
\frac{dP}{dt} =\frac{a^{2}c_{1}e^{a t}}{(1+b\,c_{1}e^{a t})^{2}}.

Passo 3

Agora calculemos P\,(a - bP). Temos
P\,(a - bP) =aP - bP^{2} =\;a\frac{a\,c_{1}e^{a t}}{1+b\,c_{1}e^{a t}} \;-\;b\Bigl(\frac{a\,c_{1}e^{a t}}{1+b\,c_{1}e^{a t}}\Bigr)^{2}.
Colocando sobre o mesmo denominador (1+b\,c_{1}e^{a t})^{2},
aP =\frac{a^{2}c_{1}e^{a t}(1+b\,c_{1}e^{a t})}{(1+b\,c_{1}e^{a t})^{2}}, \quad bP^{2} =\frac{a^{2}b\,c_{1}^{2}e^{2a t}}{(1+b\,c_{1}e^{a t})^{2}}.
Subtraindo, os termos com b\,c_{1}^{2}e^{2a t} se cancelam, ficando
P\,(a - bP) =\frac{a^{2}c_{1}e^{a t}}{(1+b\,c_{1}e^{a t})^{2}}.

Passo 4

Comparando os resultados de \tfrac{dP}{dt} e de P\,(a - bP), vemos que ambos são iguais a
\frac{a^{2}c_{1}e^{a t}}{(1+b\,c_{1}e^{a t})^{2}}.
Isso mostra que
\tfrac{dP}{dt}=P\,(a - bP), ou seja, a função dada realmente satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função P(t)=\dfrac{a\,c_{1}e^{a t}}{1+b\,c_{1}e^{a t}} é solução da equação \tfrac{dP}{dt}=P\,(a - bP).

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