- Determine o valor
a fim de que a matriz
possua inversa (isto é, determinante diferente de zero).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para determinar os valores de
tais que
possua inversa (ou seja, que o determinante de
seja diferente de zero).
Informações relevantes fornecidas:
- Entradas da matriz conforme escritas acima.
- A condição necessária e suficiente para que
tenha inversa é .
Passo 2
Lembrete (fórmula e definições) antes de calcular: para uma matriz
com entradas
, a expansão do determinante pela primeira linha é
onde cada menor
é o determinante da submatriz
obtida ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna, e o cofator é
Vou usar essa fórmula com a primeira linha da matriz
. Aqui:
Passo 3
Calcular os menores
e os cofatores correspondentes:
Menor
(remove linha 1 e coluna 1):
Cofator
.
Menor
(remove linha 1 e coluna 2):
Cofator
.
Menor
(remove linha 1 e coluna 3):
Cofator
.
Passo 4
Agora monto o determinante pela expansão:
Substituindo os valores:
Calculo término a termo:
Somando tudo:
Passo 5
Combinar termos semelhantes:
Fatorando
:
Passo 6
A condição
equivale a
. Resolver a equação quadrática associada para encontrar os valores que anulam o determinante:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto
exatamente para
e
.
Passo 7
Conclusão: a matriz
possui inversa para todos os valores reais de
exceto aqueles que anulam o determinante. Logo
é invertível quando
.