1. Determine o valor k \in \mathbb{R} a fim de que a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} k^{2}+1 & 2 & 3 \\\ k & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right)
possua inversa (isto é, determinante diferente de zero).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} k^{2}+1 & 2 & 3 \\\ k & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para determinar os valores de k\in\mathbb{R} tais que A possua inversa (ou seja, que o determinante de A seja diferente de zero).
Informações relevantes fornecidas:
  • Entradas da matriz conforme escritas acima.
  • A condição necessária e suficiente para que A tenha inversa é \det(A)\neq0.

Passo 2

Lembrete (fórmula e definições) antes de calcular: para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij}, a expansão do determinante pela primeira linha é
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde cada menor M_{ij} é o determinante da submatriz 2\times2 obtida ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna, e o cofator é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Vou usar essa fórmula com a primeira linha da matriz A. Aqui:
a_{11}=k^{2}+1,\qquad a_{12}=2,\qquad a_{13}=3.

Passo 3

Calcular os menores 2\times2 e os cofatores correspondentes:
Menor M_{11} (remove linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot(-2)=2+2=4.
Cofator C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=4.
Menor M_{12} (remove linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\det\begin{pmatrix}k & 1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=k\cdot1-1\cdot2=k-2.
Cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}=-(k-2).
Menor M_{13} (remove linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\det\begin{pmatrix}k & 2 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=k\cdot(-2)-2\cdot2=-2k-4.
Cofator C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=M_{13}=-2k-4.

Passo 4

Agora monto o determinante pela expansão:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.
Substituindo os valores:
\det(A)=(k^{2}+1)\cdot4 + 2\cdot\big(-(k-2)\big) + 3\cdot(-2k-4).
Calculo término a termo:
(k^{2}+1)\cdot4 = 4k^{2}+4,
2\cdot\big(-(k-2)\big) = -2k+4,
3\cdot(-2k-4) = -6k-12.
Somando tudo:
\det(A)=4k^{2}+4 -2k+4 -6k-12.

Passo 5

Combinar termos semelhantes:
\det(A)=4k^{2}+(-2k-6k)+(4+4-12)=4k^{2}-8k-4.
Fatorando 4:
\det(A)=4\big(k^{2}-2k-1\big).

Passo 6

A condição \det(A)\neq0 equivale a k^{2}-2k-1\neq0. Resolver a equação quadrática associada para encontrar os valores que anulam o determinante:
k^{2}-2k-1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
k=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}.
Portanto \det(A)=0 exatamente para k=1-\sqrt{2} e k=1+\sqrt{2}.

Passo 7

Conclusão: a matriz A possui inversa para todos os valores reais de k exceto aqueles que anulam o determinante. Logo A é invertível quando k\neq 1\pm\sqrt{2}.

Resposta

k\in\mathbb{R}\setminus\{\,1-\sqrt{2},\,1+\sqrt{2}\,\}

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