a) Considere a matriz A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 2 & 4 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 2 & 2 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]. Mostrar que A é invertível e calcular A^{-1} através das operações elementares entre linhas. Calcule também, pela mesma técnica, o determinante de A.
b) Obtenha a solução do sistema linear A X=B dados que X^{T}=\left[\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\end{array}\right] e B^{T}=\left[\begin{array}{llll}-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{4}{3}\end{array}\right].
o vetor B (listado acima).
Nada mais foi pedido explicitamente nesta etapa; a resolução começará nos passos seguintes.
Passo 2
Breve lembrete das ferramentas que vamos usar (aula curta):
Para encontrar A^{-1} por operações elementares fazemos a eliminação de Gauss sobre a matriz aumentada [A\mid I], aplicando operações de linha até obter [I\mid A^{-1}].
Operações elementares e efeito no determinante:
trocar duas linhas multiplica \det por -1;
multiplicar uma linha por um escalar c multiplica \det por c;
somar múltiplo de uma linha em outra não altera \det.
Para calcular \det(A) com eliminação Gauss sem escalonar linhas para 1, basta transformar A em forma triangular superior por soma de múltiplos de linhas e trocas; então\det(A)=\prod_{i=1}^{n}\text{(entradas da diagonal principal da triangular)}\times(-1)^{\#\text{trocas}}\times\prod\left(\text{fatores de escala aplicados}\right).
Vou aplicar essas ideias passo a passo, mostrando cada operação e o que ela faz.
Observação sobre determinante: não fizemos trocas de linhas e só usamos operações do tipo “somar múltiplo de linha a outra” (que não alteram \det). Portanto \det(A) é o produto das entradas da diagonal desta triangular superior:
Portanto A é invertível porque \det(A)\neq 0. (Comentário: isso já responde a parte de mostrar invertibilidade.)]
Passo 6
Continuar para obter A^{-1}: agora normalizamos pivôs para 1 e reduzimos acima deles para formar a identidade no lado esquerdo. Primeiro normalizamos R_3 e R_4:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{6}R_3,
R_4 \leftarrow -\tfrac{2}{3}R_4 (porque dividir por -\tfrac{3}{2} é multiplicar por -\tfrac{2}{3}).