a) Determine o valor máximo de , sob a condição ;
b) Determine o valor máximo da mesma função sob as condições e ax + , onde é um ponto no qual a função em (a) tem o valor máximo.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a forma quadrática
sujeita à restrição de norma .
O método mais eficiente é representar por uma matriz simétrica e usar o Teorema Espectral (autovalores e autovetores).
Passo 2
Escrevemos
onde, pelos coeficientes de e ,
Maximizar em equivale a achar o maior autovalor de .]
Para encontrar o ponto (a,b,c) onde f atinge lambdamax, resolvemos (A-lambdamaxI)v=0. Isso dá a relação ,y=raiz2,x e z=x, de modo que um autovetor unitário é
(a,b,c)=l(tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r)
Passo 6
(a) Como f em esfera unitária atinge o máximo igual ao maior autovalor de A, temos
maxx^2+y^2+z^2=1f(x,y,z) =1+tfrac1raiz2
Passo 7
(b) Sob a nova condição adicional ,ax+by+cz=0 com (a,b,c) sendo o autovetor associado a lambdamax, restringimos o domínio ao subespaço ortogonal a esse vetor. Nesse subespaço a forma quadrática atinge como máximo o segundo maior autovalor de A, que é