1. a) Determine o valor máximo de f(x, y, z)=x^2+x y+y^2+y z+z^2, sob a condição x^2+y^2+z^2=1;
    b) Determine o valor máximo da mesma função sob as condições x^2+y^2+z^2=1 e ax + b y+c z=0, onde (a, b, c) é um ponto no qual a função em (a) tem o valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a forma quadrática
f(x,y,z)=x^2+x y+y^2+y z+z^2
sujeita à restrição de norma ;x^2+y^2+z^2=1.
O método mais eficiente é representar f por uma matriz simétrica e usar o Teorema Espectral (autovalores e autovetores).

Passo 2

Escrevemos
onde, pelos coeficientes de e ,
Maximizar em equivale a achar o maior autovalor de .]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-tfrac14r] -tfrac14(1-lambda) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-tfrac12r]

Passo 4

As raízes são
1-lambda=0 Longrightarrow lambda2=1,
e
(1-lambda)^2=tfrac12 Longrightarrow lambda1,3=1pmtfrac1raiz2
Logo os autovalores em ordem decrescente são
lambdamax =1+tfrac1raiz2, lambda2=1, lambdamin =1-tfrac1raiz2

Passo 5

Para encontrar o ponto (a,b,c) onde f atinge lambdamax, resolvemos (A-lambdamaxI)v=0. Isso dá a relação
,y=raiz2,x e z=x, de modo que um autovetor unitário é
(a,b,c)=l(tfrac12,tfracraiz22,tfrac12r)

Passo 6

(a) Como f em esfera unitária atinge o máximo igual ao maior autovalor de A, temos
maxx^2+y^2+z^2=1f(x,y,z) =1+tfrac1raiz2

Passo 7

(b) Sob a nova condição adicional
,ax+by+cz=0 com (a,b,c) sendo o autovetor associado a lambdamax, restringimos o domínio ao subespaço ortogonal a esse vetor. Nesse subespaço a forma quadrática atinge como máximo o segundo maior autovalor de A, que é
1

Resposta

(a) 1+tfrac1raiz2
(b) 1

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