4^circ ) Calcule, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais dos gráficos das funções abaixo.
f(x)=x^2+1x-1

Passo 1

Temos a função racional
f(x)=x^2+1x-1,
e queremos encontrar suas assíntotas verticais (pontos onde o denominador zera e o numerador não) e horizontais (limites de f(x) quando xtopminfty).

Passo 2

Para achar a assíntota vertical, buscamos onde o denominador se anula sem que o numerador também se anule. O denominador é x-1, que se anula em x=1. O numerador em x=1 vale
1^2+1=2neq0,
portanto existe de fato uma descontinuidade infinita em x=1. Logo,
a assíntota vertical é
x=1

Passo 3

Para verificar se há assíntota horizontal, estudamos o comportamento de f(x) quando xtopminfty. Podemos usar divisão de polinômios:
x^2+1x-1 = x+1+2x-1
Ao levar xtopminfty, o termo tfrac2x-1to0, mas o termo dominante x+1topminfty. Logo
limxtopminftyf(x)=pminfty
e não há assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=1.
Assíntotas horizontais: nenhuma.

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