Determine o valor máximo absoluto de
f(x, y)=2 x^3+y^4
sobre o conjunto
D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 1
Encontre também um ponto onde o máximo é atingido.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar o valor máximo (absoluto no sentido de global) da função f(x,y)=2x^3+y^4 no disco D:,x^2+y^2<=1. O conteúdo envolve otimização de funções de duas variáveis em conjunto fechado, usando derivadas parciais para pontos críticos internos e método de Lagrange para a fronteira.

Passo 2

Primeiro vemos os pontos críticos no interior de D. Calculamos as derivadas parciais: fx=6x^2 e fy=4y^3. Igualando a zero: 6x^2=0 x=0, e 4y^3=0 y=0. Logo, o único crítico no interior é (0,0) com f(0,0)=0.

Passo 3

Agora tratamos a fronteira x^2+y^2=1 via multiplicadores de Lagrange. Montamos as equações
6x^2 = 2lambda x, 4y^3 = 2lambda y, x^2+y^2=1

Passo 4

Das duas primeiras equações temos, se xneq0 e yneq0: lambda=3x e lambda=2y^2, daí 3x=2y^2 e, junto com x^2+y^2=1, obtemos y^2=3/4 e x=1/2. Isso gera os pontos (1/2,±raiz3/2). Além disso, nos casos degenerados x=0 vem y=±1 e y=0 vem x=±1.

Passo 5

Agora avaliamos f em todos os candidatos:
  • Em (0,0): f=0.
  • Em (1/2,±raiz3/2): f=2(1/2)^3+(raiz3/2)^4=1/4+9/16=13/16.
  • Em (0,±1): f=1.
  • Em (1,0): f=2.
  • Em (-1,0): f=-2.

Passo 6

Desses valores, o maior valor de f é 2, que ocorre no ponto (1,0).

Resposta

O valor máximo de f em D é 2, atingido no ponto (1,0).

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