Determine o valor máximo absoluto de
sobre o conjunto
Encontre também um ponto onde o máximo é atingido.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o valor máximo (absoluto no sentido de global) da função
no disco
. O conteúdo envolve otimização de funções de duas variáveis em conjunto fechado, usando derivadas parciais para pontos críticos internos e método de Lagrange para a fronteira.
Passo 2
Primeiro vemos os pontos críticos no interior de
. Calculamos as derivadas parciais:
e
. Igualando a zero:
dá
, e
dá
. Logo, o único crítico no interior é
com
.
Passo 3
Agora tratamos a fronteira
via multiplicadores de Lagrange. Montamos as equações
Passo 4
Das duas primeiras equações temos, se
e
:
e
, daí
e, junto com
, obtemos
e
. Isso gera os pontos
. Além disso, nos casos degenerados
vem
e
vem
.
Passo 5
Agora avaliamos
em todos os candidatos:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Passo 6
Desses valores, o maior valor de
é
, que ocorre no ponto
.
Resposta
O valor máximo de
em
é
, atingido no ponto
.