Encontre uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros x^2+y^2=25 e y^2+z^2=20 no ponto (3,4,2).
Dica: Primeiro encontre uma função vetorial F(t) que represente a curva. Para isto substitua y^2+z^2=20 em x^2+y^2=25, e lembre que se tivermos uma equação da forma a^2+b^2=r^2 (equação do circulo de centro (0,0) e raio r ) então este circulo é parametrizado por a=r cos t e b=r sent, t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de interseção dos cilindros x²+y²=25 e y²+z²=20 no ponto (3,4,2). O tema é parametrização de curvas espaço e derivada para achar o vetor tangente.

Passo 2

Para representar a curva, primeiro parametrizamos o círculo dado por y²+z²=20. Escolhemos
y(t)=2raiz5cos t,
z(t)=2raiz5sin t, com t em [0,2π].

Passo 3

Substituímos y(t) em x²+y²=25 para achar x(t):
x(t)=pmraiz25 - y(t)^2=pmraiz25 - 20cos^2 t
Como no ponto dado x=3>0, tomamos o ramo positivo.

Passo 4

Portanto a função vetorial que descreve a curva é
F(t)=l(raiz25 - 20cos^2 t,;2raiz5cos t,;2raiz5sin tr)

Passo 5

Para achar o t₀ que leva ao ponto (3,4,2) resolvemos:
2raiz5cos t₀=4implies cos t₀=2raiz5,
2raiz5sin t₀=2implies sin t₀=1raiz5

Passo 6

Calculamos F′(t) e avaliamos em t₀. O resultado é
F'(t₀)=l(tfrac163,,-2,,4r),
que é paralelo ao vetor (4, -3, 6).

Passo 7

A reta tangente em (3,4,2) usa esse vetor como direção. Em forma vetorial:
r(s)=(3,4,2)+s(4,-3,6)

Resposta

A equação da reta tangente é
r(s)=(3,4,2)+s(4,-3,6), sinR

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