Encontre uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros
e
no ponto
.
Dica: Primeiro encontre uma função vetorial
que represente a curva. Para isto substitua
em
, e lembre que se tivermos uma equação da forma
(equação do circulo de centro
e raio
) então este circulo é parametrizado por
e
sent,
.
Dica: Primeiro encontre uma função vetorial
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva de interseção dos cilindros x²+y²=25 e y²+z²=20 no ponto (3,4,2). O tema é parametrização de curvas espaço e derivada para achar o vetor tangente.
Passo 2
Para representar a curva, primeiro parametrizamos o círculo dado por y²+z²=20. Escolhemos
Passo 3
Substituímos y(t) em x²+y²=25 para achar x(t):
Como no ponto dado x=3>0, tomamos o ramo positivo.
Passo 4
Portanto a função vetorial que descreve a curva é
Passo 5
Para achar o t₀ que leva ao ponto (3,4,2) resolvemos:
Passo 6
Calculamos F′(t) e avaliamos em t₀. O resultado é
que é paralelo ao vetor (4, -3, 6).
Passo 7
A reta tangente em (3,4,2) usa esse vetor como direção. Em forma vetorial:
Resposta
A equação da reta tangente é