Esboce a imagem da curva plana F(t) com equação vetorial dada, encontre a equação da reta tangente passando por F(t0) e esboce-a.
F(t)=(4 sen t,-2 cos t), t0=3 pi4.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a curva paramétrica F(t)=(4sin t,,-2cos t) e o ponto t0=tfrac3pi4. O conteúdo é curvas paramétricas e reta tangente, e vamos precisar da derivada vetorial para achar a linha tangente.

Passo 2

Primeiro, calcula o ponto F(t0). Substituindo t0=tfrac3pi4:
[
F\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\bigl(4\sin\tfrac{3\pi}{4},,-2\cos\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\bigl(4\tfrac{\sqrt2}{2},,-2(-\tfrac{\sqrt2}{2})\bigr)=(2\sqrt2,,\sqrt2).

Passo 3

Agora, obtém-se a derivada vetorial
F'(t)=l(4cos t,,2sin tr)

Passo 4

Avalia F'(t) em t0=tfrac3pi4:
F'l(tfrac3pi4r)=l(4(-tfracraiz22),,2tfracraiz22r)=(-2raiz2,,raiz2)
A inclinação da reta é
m=y'x'=raiz2-2raiz2=-tfrac12

Passo 5

Com ponto (x0,y0)=(2raiz2,raiz2) e inclinação m=-tfrac12, a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação fica
y-raiz2=-tfrac12l(x-2raiz2r)

Passo 6

Para esboçar basta notar que F(t) descreve uma elipse centrada na origem com semi-eixos 4 (horizontal) e 2 (vertical). Marque o ponto (2raiz2,raiz2) na elipse e desenhe a reta com inclinação -tfrac12 passando por ele.

Resposta

A reta tangente é y-raiz2=-tfrac12(x-2raiz2).

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