Esboce a imagem da curva plana
com equação vetorial dada, encontre a equação da reta tangente passando por
e esboce-a.
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a curva paramétrica
e o ponto
. O conteúdo é curvas paramétricas e reta tangente, e vamos precisar da derivada vetorial para achar a linha tangente.
Passo 2
Primeiro, calcula o ponto
. Substituindo
:
[
F\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\bigl(4\sin\tfrac{3\pi}{4},,-2\cos\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\bigl(4\tfrac{\sqrt2}{2},,-2(-\tfrac{\sqrt2}{2})\bigr)=(2\sqrt2,,\sqrt2).
F\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\bigl(4\sin\tfrac{3\pi}{4},,-2\cos\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\bigl(4\tfrac{\sqrt2}{2},,-2(-\tfrac{\sqrt2}{2})\bigr)=(2\sqrt2,,\sqrt2).
Passo 3
Agora, obtém-se a derivada vetorial
Passo 4
Avalia
em
:
A inclinação da reta é
Passo 5
Com ponto
e inclinação
, a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação fica
Passo 6
Para esboçar basta notar que
descreve uma elipse centrada na origem com semi-eixos 4 (horizontal) e 2 (vertical). Marque o ponto
na elipse e desenhe a reta com inclinação
passando por ele.
Resposta
A reta tangente é
.