Determine o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de cada uma das funções:
  • f(x, y)=\sin (x)+\sin (y)+\sin (x+y), 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}.
  • f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y, para (x, y) na região triangular fechada de vértices (0,1), (0,1) e (1,0).
  • f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}+y},|x| \leq 1 e |y| \leq 1.

Passo 1

  • Questão A: a função dada é f(x,y)=\sin(x)+\sin(y)+\sin(x+y) com domínio \;0\le x\le \frac{\pi}{2},\;0\le y\le \frac{\pi}{2}. O que se pede: determinar o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de f nesse domínio (e os pontos onde ocorrem).
  • Questão B: a função dada é f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy em uma região triangular fechada cujos vértices foram informados como (0,1), (0,1) e (1,0). Vou assumir que o triângulo correto é o triângulo com vértices (0,0), (0,1), (1,0) (isto é um triângulo padrão e coerente). O que se pede: valores máximo absoluto e mínimo absoluto de f nesse triângulo (e onde ocorrem).
  • Questão C: a função dada é f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}+y} com domínio |x|\le 1,\;|y|\le 1. O que se pede: valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto de f nesse quadrado (e onde ocorrem).

Passo 2

(Questão A — existência de extremos e método) Como f é combinação de funções senoidais contínuas e o domínio [0,\tfrac{\pi}{2}]\times[0,\tfrac{\pi}{2}] é compacto, f atinge máximos e mínimos absolutos. Para achar candidatos usamos: (i) pontos críticos no interior onde \nabla f=0 e (ii) pontos das fronteiras (arestas e vértices). Vou começar pelos pontos críticos interiores.

Passo 3

(Questão A — derivadas parciais e equações críticas) Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)+\cos(x+y),
\frac{\partial f}{\partial y}=\cos(y)+\cos(x+y).
Pontos críticos interiores satisfazem o sistema
\cos(x)+\cos(x+y)=0,\qquad \cos(y)+\cos(x+y)=0.
Subtraindo as duas equações obtemos \cos(x)=\cos(y). No intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] a função \cos é estritamente decrescente, então \cos(x)=\cos(y) implica x=y.

Passo 4

(Questão A — resolução com x=y) Colocando y=x em uma das equações críticas:
\cos(x)+\cos(2x)=0.
Usando \cos(2x)=2\cos^{2}x-1 obtemos
\cos x + 2\cos^{2}x -1 =0.
Seja c=\cos x. A equação fica 2c^{2}+c-1=0. Resolvendo quadrática:
c=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1\pm3}{4},
logo c=\tfrac{1}{2} ou c=-1. No domínio [0,\tfrac{\pi}{2}] temos \cos x\in[0,1], então c=\tfrac{1}{2}. Assim x=\operatorname{arccos}(\tfrac{1}{2})=\tfrac{\pi}{3} e y=x=\tfrac{\pi}{3}. Portanto há um ponto crítico interior em \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 5

(Questão A — valor em ponto crítico) Avaliamos f em \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr). Como \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
f\Bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\Bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2{,}598.

Passo 6

(Questão A — verificar as fronteiras) Agora verificamos as quatro arestas e os vértices:
  • Aresta x=0,\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}: \;f(0,y)=\sin 0+\sin y+\sin y=2\sin y. Em [0,\tfrac{\pi}{2}] isso varia de 0 (em y=0) até 2 (em y=\tfrac{\pi}{2}).
  • Aresta y=0,\;0\le x\le \tfrac{\pi}{2}: simetricamente f(x,0)=2\sin x varia de 0 a 2.
  • Aresta x=\tfrac{\pi}{2},\;0\le y\le \tfrac{\pi}{2}: f(\tfrac{\pi}{2},y)=1+\sin y+\sin(\tfrac{\pi}{2}+y)=1+\sin y+\cos y. Derivando em y: \frac{d}{dy}(\sin y+\cos y)=\cos y-\sin y que se anula em y=\tfrac{\pi}{4}. Avaliando:
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\approx 2{,}414,
e nas extremidades y=0 ou y=\tfrac{\pi}{2} o valor é 2.
  • Aresta y=\tfrac{\pi}{2} é análoga: f(x,\tfrac{\pi}{2})=1+\sin x+\cos x com máximo 1+\sqrt{2} em x=\tfrac{\pi}{4} e valores 2 nos vértices.

Passo 7

(Questão A — conclusão) Comparando: o maior valor encontrado é \tfrac{3\sqrt{3}}{2} no ponto \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr). O menor valor observado é 0, atingido em (0,0). Como todas as parcelas \sin são \ge 0 no quadrante considerado, não há valores negativos; portanto
  • máximo absoluto: \tfrac{3\sqrt{3}}{2} em \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr);
  • mínimo absoluto: 0 em (0,0).

Passo 8

(Questão B — método e existência) A função f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy é polinomial e o triângulo \{(x,y)\ge0\mid x+y\le 1\} (vértices (0,0),(0,1),(1,0)) é compacto, então existem extremos absolutos. Procedemos como antes: (i) achar pontos críticos interiores com \nabla f=0 e (ii) checar bordas (três arestas) e vértices.

Passo 9

(Questão B — pontos críticos interiores) Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3x.
Igualando a zero obtemos o sistema
x^{2}-y=0,\qquad y^{2}-x=0.
Da primeira vem y=x^{2}. Substituindo na segunda: (x^{2})^{2}-x=0\Rightarrow x^{4}-x=0\Rightarrow x(x^{3}-1)=0. Assim x=0 ou x=1.
  • Se x=0 então y=0 e o ponto (0,0) pertence ao triângulo.
  • Se x=1 então y=1, mas (1,1) não está no triângulo (pois 1+1>1). Logo o único ponto crítico do interior do triângulo é (0,0).

Passo 10

(Questão B — valor em pontos críticos e vértices) Avaliamos f nos vértices:
f(0,0)=0,\qquad f(1,0)=1^{3}+0-0=1,\qquad f(0,1)=0+1^{3}-0=1.
Portanto vértices dão valores 0,1,1.

Passo 11

(Questão B — checagem da aresta x+y=1) A aresta entre (0,1) e (1,0) tem x+y=1. Parametrizamos por x=t,\;y=1-t com t\in[0,1]. Substituindo:
f(t,1-t)=t^{3}+(1-t)^{3}-3t(1-t).
Expandindo,
t^{3}+(1-3t+3t^{2}-t^{3})-3t+3t^{2}=1-3t+3t^{2}-3t+3t^{2}=1-6t+6t^{2}.
Assim f restrita à aresta é g(t)=6t^{2}-6t+1. Esta é uma parábola com coeficiente positivo; seu vértice está em t=\tfrac{1}{2} e o valor mínimo é
g\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)=6\Bigl(\tfrac{1}{4}\Bigr)-6\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)+1=\tfrac{6}{4}-3+1=\tfrac{3}{2}-2=\!-\,\tfrac{1}{2}.
Os extremos nos extremos do intervalo t=0,1 dão g(0)=g(1)=1.

Passo 12

(Questão B — conclusão) Comparando todos os valores:
  • mínimo encontrado é -\tfrac{1}{2}, atingido no ponto correspondente a t=\tfrac{1}{2}, isto é (x,y)=\bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) (ponto médio da hipotenusa do triângulo);
  • máximo absoluto é 1, atingido nos vértices (1,0) e (0,1).
    O ponto crítico interior (0,0) deu valor 0, que não é nem máximo nem mínimo global.

Passo 13

(Questão C — observação sobre o expoente) A função f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}+y} é positiva e o exponencial é estritamente crescente; portanto maximizar/minimizar f em um domínio compacto equivale a maximizar/minimizar a função
g(x,y)=x^{2}+y^{2}+y
no mesmo domínio \{|x|\le1,\;|y|\le1\}. Depois aplicamos f=e^{g} aos valores extremos de g.

Passo 14

(Questão C — separação por coordenadas) Para g(x,y)=x^{2}+y^{2}+y observe que x aparece apenas como x^{2} (não há termo misto). Para qualquer y fixo, x^{2} é maximizado em |x|=1 e minimizado em x=0. Logo:
  • candidatos para máximo de g terão x^{2}=1 (ou seja x=\pm1);
  • candidatos para mínimo de g terão x=0.
Agora reduzimos o problema para uma variável tomando esses casos.

Passo 15

(Questão C — maximização em y) Com x^{2}=1 obtemos a função unidimensional
h_{\max}(y)=1+y^{2}+y.
Para y\in[-1,1] avaliamos extremos em extremidades porque h_{\max} é uma parábola que abre para cima ( y^{2} com coeficiente positivo), então o máximo em um segmento fechado ocorre nas extremidades y=\pm1. Calculando:
h_{\max}(1)=1+1+1=3,\qquad h_{\max}(-1)=1+1-1=1.
Portanto o máximo de g é 3, atingido quando x=\pm1 e y=1.

Passo 16

(Questão C — minimização em y) Para o mínimo, como apontado, tomamos x=0 e consideramos
h_{\min}(y)=y^{2}+y.
Completemos o quadrado:
y^{2}+y=\Bigl(y+\tfrac{1}{2}\Bigr)^{2}-\tfrac{1}{4}.
Portanto o mínimo de h_{\min} em [-1,1] ocorre em y=-\tfrac{1}{2} (o vértice da parábola) e vale -\tfrac{1}{4}. Esse y está no intervalo permitido. Assim o mínimo de g é -\tfrac{1}{4}, atingido em x=0,\;y=-\tfrac{1}{2}.

Passo 17

(Questão C — converter de volta para f) Como f=e^{g}, os extremos de f são:
  • máximo f_{\max}=e^{3} em (x,y)=(\pm 1,\,1);
  • mínimo f_{\min}=e^{-1/4} em (x,y)=(0,\,-\tfrac{1}{2}).

Resposta

  1. máximo absoluto: \displaystyle f_{\max}=\tfrac{3\sqrt{3}}{2} em \displaystyle\Bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\Bigr);\nmínimo absoluto: \displaystyle f_{\min}=0 em \displaystyle(0,0).
  2. máximo absoluto: \displaystyle f_{\max}=1 em \displaystyle(1,0) e \displaystyle(0,1);\nmínimo absoluto: \displaystyle f_{\min}=-\tfrac{1}{2} em \displaystyle\Bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\Bigr).
  3. máximo absoluto: \displaystyle f_{\max}=e^{3} em \displaystyle(1,1) e \displaystyle(-1,1);\nmínimo absoluto: \displaystyle f_{\min}=e^{-1/4} em \displaystyle\Bigl(0,-\tfrac{1}{2}\Bigr).

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