Determine o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de cada uma das funções:
-
.
-
, para
na região triangular fechada de vértices
,
e
.
-
e
.
Passo 1
- Questão A: a função dada é
com domínio . O que se pede: determinar o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto de nesse domínio (e os pontos onde ocorrem). - Questão B: a função dada é
em uma região triangular fechada cujos vértices foram informados como e . Vou assumir que o triângulo correto é o triângulo com vértices (isto é um triângulo padrão e coerente). O que se pede: valores máximo absoluto e mínimo absoluto de nesse triângulo (e onde ocorrem). - Questão C: a função dada é
com domínio . O que se pede: valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto de nesse quadrado (e onde ocorrem).
Passo 2
(Questão A — existência de extremos e método) Como
é combinação de funções senoidais contínuas e o domínio
é compacto,
atinge máximos e mínimos absolutos. Para achar candidatos usamos: (i) pontos críticos no interior onde
e (ii) pontos das fronteiras (arestas e vértices). Vou começar pelos pontos críticos interiores.
Passo 3
(Questão A — derivadas parciais e equações críticas) Calculamos as derivadas parciais:
Pontos críticos interiores satisfazem o sistema
Subtraindo as duas equações obtemos
. No intervalo
a função
é estritamente decrescente, então
implica
.
Passo 4
(Questão A — resolução com
) Colocando
em uma das equações críticas:
Usando
obtemos
Seja
. A equação fica
. Resolvendo quadrática:
logo
ou
. No domínio
temos
, então
. Assim
e
. Portanto há um ponto crítico interior em
.
Passo 5
(Questão A — valor em ponto crítico) Avaliamos
em
. Como
e
,
Passo 6
(Questão A — verificar as fronteiras) Agora verificamos as quatro arestas e os vértices:
- Aresta
: . Em isso varia de (em ) até (em ). - Aresta
: simetricamente varia de a . - Aresta
: . Derivando em : que se anula em . Avaliando:
e nas extremidades
ou
o valor é
.
- Aresta
é análoga: com máximo em e valores nos vértices.
Passo 7
(Questão A — conclusão) Comparando: o maior valor encontrado é
no ponto
. O menor valor observado é
, atingido em
. Como todas as parcelas
são
no quadrante considerado, não há valores negativos; portanto
- máximo absoluto:
em ; - mínimo absoluto:
em .
Passo 8
(Questão B — método e existência) A função
é polinomial e o triângulo
(vértices
) é compacto, então existem extremos absolutos. Procedemos como antes: (i) achar pontos críticos interiores com
e (ii) checar bordas (três arestas) e vértices.
Passo 9
(Questão B — pontos críticos interiores) Calculamos as derivadas parciais:
Igualando a zero obtemos o sistema
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
. Assim
ou
.
- Se
então e o ponto pertence ao triângulo. - Se
então , mas não está no triângulo (pois ). Logo o único ponto crítico do interior do triângulo é .
Passo 10
(Questão B — valor em pontos críticos e vértices) Avaliamos
nos vértices:
Portanto vértices dão valores
.
Passo 11
(Questão B — checagem da aresta
) A aresta entre
e
tem
. Parametrizamos por
com
. Substituindo:
Expandindo,
Assim
restrita à aresta é
. Esta é uma parábola com coeficiente positivo; seu vértice está em
e o valor mínimo é
Os extremos nos extremos do intervalo
dão
.
Passo 12
(Questão B — conclusão) Comparando todos os valores:
- mínimo encontrado é
, atingido no ponto correspondente a , isto é (ponto médio da hipotenusa do triângulo); - máximo absoluto é
, atingido nos vértices e .
O ponto crítico interiordeu valor , que não é nem máximo nem mínimo global.
Passo 13
(Questão C — observação sobre o expoente) A função
é positiva e o exponencial é estritamente crescente; portanto maximizar/minimizar
em um domínio compacto equivale a maximizar/minimizar a função
no mesmo domínio
. Depois aplicamos
aos valores extremos de
.
Passo 14
(Questão C — separação por coordenadas) Para
observe que
aparece apenas como
(não há termo misto). Para qualquer
fixo,
é maximizado em
e minimizado em
. Logo:
- candidatos para máximo de
terão (ou seja ); - candidatos para mínimo de
terão .
Agora reduzimos o problema para uma variável tomando esses casos.
Passo 15
(Questão C — maximização em
) Com
obtemos a função unidimensional
Para
avaliamos extremos em extremidades porque
é uma parábola que abre para cima (
com coeficiente positivo), então o máximo em um segmento fechado ocorre nas extremidades
. Calculando:
Portanto o máximo de
é
, atingido quando
e
.
Passo 16
(Questão C — minimização em
) Para o mínimo, como apontado, tomamos
e consideramos
Completemos o quadrado:
Portanto o mínimo de
em
ocorre em
(o vértice da parábola) e vale
. Esse
está no intervalo permitido. Assim o mínimo de
é
, atingido em
.
Passo 17
(Questão C — converter de volta para
) Como
, os extremos de
são:
- máximo
em ; - mínimo
em .
Resposta
- máximo absoluto:
em ;\nmínimo absoluto: em . - máximo absoluto:
em e ;\nmínimo absoluto: em . - máximo absoluto:
em e ;\nmínimo absoluto: em .