Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo da função dada com a restrição determinada.
  • f(x, y)=3 x+2 y com a restrição x^{2}+y^{2}=1.
  • f(x, y)=x y com a restrição x^{2}+4 y^{2}=8.
  • f(x, y)=x^{2}-2 x y+3 y^{2} com a restrição x^{2}+2 y^{2}=1.

Passo 1

Temos três problemas separados. Vou listar exatamente o que cada enunciado dá e o que pede:
  1. Função \,f(x,y)=3x+2y com restrição \,x^{2}+y^{2}=1.
    • Pergunta: determinar os pontos (em \mathbb{R}^2) onde f atinge máximo e mínimo sob essa restrição e os respectivos valores.
  2. Função \,f(x,y)=xy com restrição \,x^{2}+4y^{2}=8.
    • Pergunta: determinar os pontos que dão máximo e mínimo e os valores de f nessas posições, sob a restrição.
  3. Função \,f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2} com restrição \,x^{2}+2y^{2}=1.
    • Pergunta: determinar os extremos (máximo e mínimo) da função sob a restrição e os valores correspondentes.
Informações dadas: para cada item temos f (a função objetivo) e uma equação do tipo g(x,y)=0 (a restrição). Em todos os casos a restrição define uma curva fechada (círculo ou elipse), então esperamos extremos absolutos.

Passo 2

Explicação do método dos multiplicadores de Lagrange (passo-a-passo e intuitivo):
  • Ideia intuitiva: num ponto extremo restrito, as direções viáveis (tangentes à curva de restrição) não permitem aumentar nem diminuir f — geometricamente, o gradiente de f é perpendicular à curva. O gradiente de g (onde g(x,y)=0 é a restrição escrita como g(x,y)=x^2+\dots - \text{constante}) também é perpendicular à curva. Assim, no extremo temos \nabla f paralelo a \nabla g.
  • Fórmula: escrevemos a condição de paralelismo como
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante real que será determinada).
  • Procedimento prático:
    1. Escrever g(x,y)=0 (a restrição rearranjada, por exemplo g(x,y)=x^2+y^2-1).
    2. Calcular \nabla f e \nabla g.
    3. Resolver o sistema formado por \nabla f=\lambda\nabla g junto com g(x,y)=0. Isso dá candidatos (x,y).
    4. Avaliar f nesses candidatos e comparar — o maior valor é máximo, o menor é mínimo (numa curva fechada, esses serão extremos absolutos).
    5. Opcionalmente podemos usar o teste da Hessiana lançada ao caso restrito, mas aqui comparar os valores é suficiente e simples.
Vou aplicar exatamente esse procedimento a cada item, mostrando todos os passos algébricos.

Passo 3

Resolução do item (1): \,f(x,y)=3x+2y, restrição \,x^{2}+y^{2}=1.
  1. Escrevo g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.
  2. Calculo os gradientes:
\nabla f = \bigl( \tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr) = (3,\,2),
\nabla g = (2x,\,2y).
  1. Condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema:
3 = \lambda\cdot 2x,\qquad 2 = \lambda\cdot 2y,
junto com a restrição
x^{2}+y^{2}=1.
  1. Faço expressões de x e y em função de \lambda:
x=\frac{3}{2\lambda},\qquad y=\frac{2}{2\lambda}=\frac{1}{\lambda}.
  1. Substituo na restrição:
\Bigl(\frac{3}{2\lambda}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{1}{\lambda}\Bigr)^{2}=1
\frac{9}{4\lambda^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{13}{4\lambda^{2}}=1.
Portanto
\lambda^{2}=\frac{13}{4}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}.
  1. Para \lambda=\frac{\sqrt{13}}{2} obtemos
x=\frac{3}{2\lambda}=\frac{3}{\sqrt{13}},\qquad y=\frac{1}{\lambda}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Para \lambda=-\frac{\sqrt{13}}{2} obtemos o ponto simétrico \bigl(-\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\bigr).
  1. Avalio f nesses pontos:
f\Bigl(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}}\Bigr)=3\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}+2\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{9+4}{\sqrt{13}}=\frac{13}{\sqrt{13}}=\sqrt{13},
f\Bigl(-\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\Bigr)=-\sqrt{13}.
  1. Conclusão do item (1): máximo restrito é \sqrt{13} em \bigl(\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\bigr) e mínimo é -\sqrt{13} em \bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\bigr).

Passo 4

Resolução do item (2): \,f(x,y)=xy, restrição \,x^{2}+4y^{2}=8.
  1. Escrevo g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-8.
  2. Calculo gradientes:
\nabla f = (y,\,x),\qquad \nabla g=(2x,\,8y).
  1. Condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema:
y = \lambda\cdot 2x,\qquad x = \lambda\cdot 8y,
com a restrição
x^{2}+4y^{2}=8.
  1. Das primeiras duas equações posso eliminar \lambda. Da primeira vem y=2\lambda x. Substituindo na segunda:
x = 8\lambda y = 8\lambda(2\lambda x)=16\lambda^{2}x.
Isso dá duas possibilidades: ou x=0 ou 1=16\lambda^{2}\Rightarrow\lambda=\pm\frac{1}{4}.
  1. Caso x=0: pela restrição 0+4y^{2}=8\Rightarrow y^{2}=2\Rightarrow y=\pm\sqrt{2}. Avalio f=xy=0 nesses pontos.
  2. Caso \lambda=\frac{1}{4}: da relação y=2\lambda x vem y=\frac{1}{2}x. Substituo na restrição:
x^{2}+4\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2}=x^{2}+4\cdot\frac{x^{2}}{4}=x^{2}+x^{2}=2x^{2}=8\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=\pm 2.
Para x=2 obtem y=1; para x=-2 obtem y=-1. Avalio f(2,1)=2, f(-2,-1)=2.
  1. Caso \lambda=-\frac{1}{4}: vem y=-\frac{1}{2}x. Igual cálculo dá x=\pm 2 e então y=\mp 1. Avalio f(2,-1)=-2, f(-2,1)=-2.
  2. Recolhendo candidatos e valores:
  • Pontos (2,1) e (-2,-1) com f=2.
  • Pontos (2,-1) e (-2,1) com f=-2.
  • Pontos (0,\pm\sqrt{2}) com f=0.
  1. Conclusão do item (2): máximo restrito é 2 atingido em (2,1) e (-2,-1); mínimo restrito é -2 atingido em (2,-1) e (-2,1).

Passo 5

Resolução do item (3): \,f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2}, restrição \,x^{2}+2y^{2}=1.
  1. Escrevo g(x,y)=x^{2}+2y^{2}-1.
  2. Calculo gradientes:
\nabla f = \bigl(2x-2y,\,-2x+6y\bigr),\qquad \nabla g=(2x,\,4y).
  1. Condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema:
2x-2y = \lambda\cdot 2x,\qquad -2x+6y=\lambda\cdot 4y,
com a restrição
x^{2}+2y^{2}=1.
  1. Simplifico cada equação dividindo por 2:
x-y=\lambda x\quad\Rightarrow\quad x(1-\lambda)=y, \tag{1}
-x+3y=2\lambda y\quad\Rightarrow\quad x=(3-2\lambda)y. \tag{2}
  1. Considero casos. Se x=0 então da restrição 2y^{2}=1\Rightarrow y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}. Avalio f nesses pontos:
f(0,\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}})=0-0+3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
  1. Se x\neq 0, uso (1) e (2). Substituo (1) em (2):
x=(3-2\lambda)y=(3-2\lambda)\bigl(x(1-\lambda)\bigr).
Dividindo por x (válido pois consideramos x\neq 0):
1=(1-\lambda)(3-2\lambda).
Expando e resolvo:
(1-\lambda)(3-2\lambda)=3-5\lambda+2\lambda^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 2\lambda^{2}-5\lambda+2=0.
Esta quadrática tem discriminante \Delta=25-16=9, então
\lambda=\frac{5\pm 3}{4}\Rightarrow \lambda=2\quad\text{ou}\quad \lambda=\tfrac{1}{2}.
  1. Para \lambda=2: pela (1) vem y=x(1-2)=-x. Substituo na restrição:
x^{2}+2(-x)^{2}=x^{2}+2x^{2}=3x^{2}=1\Rightarrow x^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
Então os pontos são \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr). Avalio f:
f|_{y=-x}=x^{2}-2x(-x)+3(-x)^{2}=x^{2}+2x^{2}+3x^{2}=6x^{2}=6\cdot\frac{1}{3}=2.
  1. Para \lambda=\tfrac{1}{2}: pela (1) vem y=x(1-\tfrac{1}{2})=\tfrac{x}{2}. Substituo na restrição:
x^{2}+2\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2}=x^{2}+2\cdot\frac{x^{2}}{4}=x^{2}+\frac{x^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}=1\Rightarrow x^{2}=\frac{2}{3}.
Logo x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} e y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}} (mesmo sinal de x). Avalio f com y=\tfrac{x}{2}:
f = x^{2}-2x\cdot\frac{x}{2}+3\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2}=x^{2}-x^{2}+3\cdot\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4}x^{2}.
Como x^{2}=\tfrac{2}{3} temos
f=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
  1. Recolhendo todos os candidatos e valores:
  • Pontos \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) com f=2.
  • Pontos (0,\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}) com f=\tfrac{3}{2}=1{,}5.
  • Pontos \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) (mesmo sinal) com f=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  1. Conclusão do item (3): o valor máximo restrito é 2, atingido em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr). O valor mínimo restrito é \tfrac{1}{2}, atingido em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) (os sinais iguais entre x e y nessas duas soluções).

Resposta

(1) Máx.: \sqrt{13} em \Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr); Mín.: -\sqrt{13} em \Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr).
(2) Máx.: 2 em (2,1) e (-2,-1); Mín.: -2 em (2,-1) e (-2,1).
(3) Máx.: 2 em \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) e \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr); Mín.: \tfrac{1}{2} em \Bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr) (sinais iguais).

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