Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o máximo e o mínimo da função dada com a restrição determinada.
f(x, y)=3 x+2 y com a restrição x^{2}+y^{2}=1.
f(x, y)=x y com a restrição x^{2}+4 y^{2}=8.
f(x, y)=x^{2}-2 x y+3 y^{2} com a restrição x^{2}+2 y^{2}=1.
Passo 1
Temos três problemas separados. Vou listar exatamente o que cada enunciado dá e o que pede:
Função \,f(x,y)=3x+2y com restrição \,x^{2}+y^{2}=1.
Pergunta: determinar os pontos (em \mathbb{R}^2) onde f atinge máximo e mínimo sob essa restrição e os respectivos valores.
Função \,f(x,y)=xy com restrição \,x^{2}+4y^{2}=8.
Pergunta: determinar os pontos que dão máximo e mínimo e os valores de f nessas posições, sob a restrição.
Função \,f(x,y)=x^{2}-2xy+3y^{2} com restrição \,x^{2}+2y^{2}=1.
Pergunta: determinar os extremos (máximo e mínimo) da função sob a restrição e os valores correspondentes.
Informações dadas: para cada item temos f (a função objetivo) e uma equação do tipo g(x,y)=0 (a restrição). Em todos os casos a restrição define uma curva fechada (círculo ou elipse), então esperamos extremos absolutos.
Passo 2
Explicação do método dos multiplicadores de Lagrange (passo-a-passo e intuitivo):
Ideia intuitiva: num ponto extremo restrito, as direções viáveis (tangentes à curva de restrição) não permitem aumentar nem diminuir f — geometricamente, o gradiente de f é perpendicular à curva. O gradiente de g (onde g(x,y)=0 é a restrição escrita como g(x,y)=x^2+\dots - \text{constante}) também é perpendicular à curva. Assim, no extremo temos \nabla f paralelo a \nabla g.
Fórmula: escrevemos a condição de paralelismo como
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante real que será determinada).
Procedimento prático:
Escrever g(x,y)=0 (a restrição rearranjada, por exemplo g(x,y)=x^2+y^2-1).
Calcular \nabla f e \nabla g.
Resolver o sistema formado por \nabla f=\lambda\nabla g junto com g(x,y)=0. Isso dá candidatos (x,y).
Avaliar f nesses candidatos e comparar — o maior valor é máximo, o menor é mínimo (numa curva fechada, esses serão extremos absolutos).
Opcionalmente podemos usar o teste da Hessiana lançada ao caso restrito, mas aqui comparar os valores é suficiente e simples.
Vou aplicar exatamente esse procedimento a cada item, mostrando todos os passos algébricos.
Passo 3
Resolução do item (1): \,f(x,y)=3x+2y, restrição \,x^{2}+y^{2}=1.
Conclusão do item (1): máximo restrito é \sqrt{13} em \bigl(\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\bigr) e mínimo é -\sqrt{13} em \bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\bigr).
Passo 4
Resolução do item (2): \,f(x,y)=xy, restrição \,x^{2}+4y^{2}=8.
Escrevo g(x,y)=x^{2}+4y^{2}-8.
Calculo gradientes:
\nabla f = (y,\,x),\qquad \nabla g=(2x,\,8y).
Condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema:
y = \lambda\cdot 2x,\qquad x = \lambda\cdot 8y,
com a restrição
x^{2}+4y^{2}=8.
Das primeiras duas equações posso eliminar \lambda. Da primeira vem y=2\lambda x. Substituindo na segunda:
x = 8\lambda y = 8\lambda(2\lambda x)=16\lambda^{2}x.
Isso dá duas possibilidades: ou x=0 ou 1=16\lambda^{2}\Rightarrow\lambda=\pm\frac{1}{4}.
Caso x=0: pela restrição 0+4y^{2}=8\Rightarrow y^{2}=2\Rightarrow y=\pm\sqrt{2}. Avalio f=xy=0 nesses pontos.
Caso \lambda=\frac{1}{4}: da relação y=2\lambda x vem y=\frac{1}{2}x. Substituo na restrição:
Logo x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}} e y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}} (mesmo sinal de x). Avalio f com y=\tfrac{x}{2}:
f = x^{2}-2x\cdot\frac{x}{2}+3\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2}=x^{2}-x^{2}+3\cdot\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4}x^{2}.
Como x^{2}=\tfrac{2}{3} temos
f=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
Recolhendo todos os candidatos e valores:
Pontos \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) com f=2.
Pontos (0,\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}) com f=\tfrac{3}{2}=1{,}5.
Pontos \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) (mesmo sinal) com f=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
Conclusão do item (3): o valor máximo restrito é 2, atingido em \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr). O valor mínimo restrito é \tfrac{1}{2}, atingido em \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) (os sinais iguais entre x e y nessas duas soluções).
Resposta
(1) Máx.: \sqrt{13} em \Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{13}},\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr); Mín.: -\sqrt{13} em \Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr).
(2) Máx.: 2 em (2,1) e (-2,-1); Mín.: -2 em (2,-1) e (-2,1).
(3) Máx.: 2 em \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) e \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr); Mín.: \tfrac{1}{2} em \Bigl(\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}},\pm\tfrac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr) (sinais iguais).