(a) No ponto (3,0) a função diferenciável f dada por f(x, y)=x^2+y^2 possui a mesma taxa máxima de crescimento que a função g dada por g(x, y)=2 x y ?. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede pra comparar a taxa máxima de crescimento de duas funções diferenciáveis no ponto (3,0). O conteúdo principal aqui é que a taxa máxima de crescimento de uma função diferenciável é dada pela magnitude do seu gradiente nesse ponto.

Passo 2

Para f(x,y)=x²+y², o gradiente é ∇f(x,y)=(2x,2y). Avaliando em (3,0) temos ∇f(3,0)=(6,0). A magnitude desse vetor é |nabla f(3,0)|=raiz6^2+0^2=6, que é a taxa máxima de crescimento de f em (3,0).

Passo 3

Para g(x,y)=2xy, o gradiente é ∇g(x,y)=(2y,2x). Avaliando em (3,0) temos ∇g(3,0)=(0,6). A magnitude desse vetor é |nabla g(3,0)|=raiz0^2+6^2=6, que é a taxa máxima de crescimento de g em (3,0).

Passo 4

Como ambas as magnitudes dos gradientes são iguais a 6, concluímos que f e g têm a mesma taxa máxima de crescimento no ponto (3,0), embora em direções diferentes.

Resposta

Sim. Ambas as funções têm taxa máxima de crescimento igual a 6 no ponto (3,0).

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