(a) No ponto
a função diferenciável
dada por
possui a mesma taxa máxima de crescimento que a função
dada por
?. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede pra comparar a taxa máxima de crescimento de duas funções diferenciáveis no ponto (3,0). O conteúdo principal aqui é que a taxa máxima de crescimento de uma função diferenciável é dada pela magnitude do seu gradiente nesse ponto.
Passo 2
Para f(x,y)=x²+y², o gradiente é ∇f(x,y)=(2x,2y). Avaliando em (3,0) temos ∇f(3,0)=(6,0). A magnitude desse vetor é
, que é a taxa máxima de crescimento de f em (3,0).
Passo 3
Para g(x,y)=2xy, o gradiente é ∇g(x,y)=(2y,2x). Avaliando em (3,0) temos ∇g(3,0)=(0,6). A magnitude desse vetor é
, que é a taxa máxima de crescimento de g em (3,0).
Passo 4
Como ambas as magnitudes dos gradientes são iguais a 6, concluímos que f e g têm a mesma taxa máxima de crescimento no ponto (3,0), embora em direções diferentes.
Resposta
Sim. Ambas as funções têm taxa máxima de crescimento igual a 6 no ponto (3,0).