Determine os valores extremos de f na região descrita
f(x, y)=3 x+y x^2+2 y^2 <= 1.

Passo 1

A questão pede pra gente achar os extremos de f(x,y)=3x+y na região elíptica x²+2y²≤1. É um problema de otimização restrita, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange porque o conjunto é compacto e f é contínua.

Passo 2

Primeiro a gente verifica o interior da região: o gradiente de f é ∇f=(3,1), que nunca é zero. Então não há pontos críticos dentro de x²+2y²<1. Logo, qualquer máximo ou mínimo acontece na fronteira x²+2y²=1.

Passo 3

Na fronteira aplicamos Lagrange. Definimos g(x,y)=x²+2y²−1 e impomos ∇f=λ∇g, isto é
3=2λx,
1=4λy,
e ainda vale a restrição
x^2+2y^2=1

Passo 4

Das duas primeiras equações isolamos x e y em função de λ: x=3/(2λ) e y=1/(4λ). Substituindo na restrição temos
94λ^2+2cdot116λ^2=1
que se simplifica para
94λ^2+18λ^2=1 Longrightarrow 198λ^2=1 Longrightarrow λ=pmraiz198

Passo 5

Para λ=+√(19/8) obtemos o ponto de máximo:
x=32λ=3raiz2raiz19, y=14λ=raiz22raiz19

Passo 6

O valor de f nesse ponto é
fmax=3x+y=raiz192

Passo 7

Para λ=-√(19/8) vem o ponto de mínimo, que é simplesmente o simétrico:
x=-3raiz2raiz19, y=-raiz22raiz19,
e
fmin=-raiz192

Resposta

O máximo é f=√(19/2) em (3√2/√19, √2/(2√19)) e o mínimo é f=−√(19/2) em (−3√2/√19, −√2/(2√19)).

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