Determine os valores extremos de
na região descrita
.
Passo 1
A questão pede pra gente achar os extremos de f(x,y)=3x+y na região elíptica x²+2y²≤1. É um problema de otimização restrita, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange porque o conjunto é compacto e f é contínua.
Passo 2
Primeiro a gente verifica o interior da região: o gradiente de f é ∇f=(3,1), que nunca é zero. Então não há pontos críticos dentro de x²+2y²<1. Logo, qualquer máximo ou mínimo acontece na fronteira x²+2y²=1.
Passo 3
Na fronteira aplicamos Lagrange. Definimos g(x,y)=x²+2y²−1 e impomos ∇f=λ∇g, isto é
e ainda vale a restrição
Passo 4
Das duas primeiras equações isolamos x e y em função de λ: x=3/(2λ) e y=1/(4λ). Substituindo na restrição temos
que se simplifica para
Passo 5
Para λ=+√(19/8) obtemos o ponto de máximo:
Passo 6
O valor de f nesse ponto é
Passo 7
Para λ=-√(19/8) vem o ponto de mínimo, que é simplesmente o simétrico:
e
Resposta
O máximo é f=√(19/2) em (3√2/√19, √2/(2√19)) e o mínimo é f=−√(19/2) em (−3√2/√19, −√2/(2√19)).