Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f(x, y)=x^{3}-3 x y+y^{3} na regiāo
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leqslant x \leqslant 2 \text { e } 0 \leqslant y \leqslant 2\right\} \text {. }
(Se quiser, pode considerar \sqrt{2} \approx 1 ; 4).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor máximo e o valor mínimo da função
f(x,y)=x^{3}-3xy+y^{3}
na região quadrada fechada
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: 0\le x\le 2\\ \text{e}\\\ 0\le y\le 2\}.
Informações úteis dadas:
  • A função é definida em todo o plano, portanto em R está bem definida.
  • A região R é compacta (fechada e limitada), logo pelo Teorema do Valor Extremo f atinge máximo e mínimo em R.
    O que devemos fazer: encontrar todos os pontos candidatos a extremos (pontos críticos no interior e pontos críticos nas fronteiras), avaliar f nesses pontos e comparar os valores para decidir o máximo e o mínimo.

Passo 2

Procurar pontos críticos no interior de R usando o gradiente (derivadas parciais).
Calcular as derivadas parciais de f:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3y, \qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=-3x+3y^{2}.
Um ponto crítico no interior satisfaz
f_x=0,\qquad f_y=0.
Isto dá o sistema
3x^{2}-3y=0,\qquad -3x+3y^{2}=0.
Dividindo por 3 (para simplificar) obtemos
x^{2}-y=0,\qquad -x+y^{2}=0,
ou seja
y=x^{2},\qquad x=y^{2}.
Substituindo y=x^{2} em x=y^{2} vem
x=(x^{2})^{2}=x^{4}.
Portanto
x^{4}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
As soluções são x=0 e x=1. Correspondentes:
  • Se x=0 então y=x^{2}=0, ponto (0,0).
  • Se x=1 então y=x^{2}=1, ponto (1,1).
    Ambos estão no interior de R (na verdade na borda inferior direita? são interiores relativos: 0\le x\le2 e 0\le y\le2; ambos pertencem a R; (0,0) é canto, mas apareceu como solução do sistema — veremos sua classificação).

Passo 3

Avaliar f nos pontos críticos encontrados:
f(0,0)=0^{3}-3\cdot0\cdot0+0^{3}=0,
f(1,1)=1^{3}-3\cdot1\cdot1+1^{3}=1-3+1=-1.

Passo 4

Classificar os pontos críticos no interior pelo teste da segunda derivada (matriz Hessiana).
Calcular segundas derivadas:
f_{xx}=6x,\qquad f_{yy}=6y,\qquad f_{xy}=f_{yx}=-3.
A determinante do Hessiano é
D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2}=36xy-9=9(4xy-1).
Aplicar em cada ponto:
  • Em (0,0):
D(0,0)=9(4\cdot0\cdot0-1)=9(-1)=-9<0.
Quando D<0 o ponto é sela (não é extremo).
  • Em (1,1):
D(1,1)=9(4\cdot1\cdot1-1)=9(4-1)=27>0,
e f_{xx}(1,1)=6>0. Quando D>0 e f_{xx}>0 temos mínimo local. Logo (1,1) é mínimo local com f(1,1)=-1.
Observação didática rápida: o teste do Hessiano diz que para uma função f duas vezes diferenciável em (a,b),
  • se D(a,b)>0 e f_{xx}(a,b)>0 então f tem mínimo local em (a,b);
  • se D(a,b)>0 e f_{xx}(a,b)<0 então máximo local;
  • se D(a,b)<0 então sela.

Passo 5

Agora examinar a borda de R. A borda é composta por quatro segmentos: x=0 com y\in[0,2]; x=2 com y\in[0,2]; y=0 com x\in[0,2]; y=2 com x\in[0,2]. Em cada segmento reduzimos a um problema de uma variável.
Primeiro segmento: x=0. Então
g_1(y)=f(0,y)=0-0+y^{3}=y^{3},\qquad y\in[0,2].
Derivada g_1'(y)=3y^{2}\ge 0 em todo o intervalo, logo g_1 é crescente. Valores nos extremos:
g_1(0)=0,\qquad g_1(2)=8.
Portanto, na borda x=0 o mínimo é 0 em (0,0) e o máximo é 8 em (0,2).

Passo 6

Segundo segmento: y=0. Então
g_2(x)=f(x,0)=x^{3},\qquad x\in[0,2].
Derivada g_2'(x)=3x^{2}\ge 0, crescente também. Valores nos extremos:
g_2(0)=0,\qquad g_2(2)=8.
Assim, na borda y=0 mínimo 0 em (0,0) e máximo 8 em (2,0).

Passo 7

Terceiro segmento: x=2. Então temos função de uma variável
g_3(y)=f(2,y)=2^{3}-3\cdot2\cdot y+y^{3}=8-6y+y^{3}=y^{3}-6y+8, \qquad y\in[0,2].
Calcular g_3'(y)=3y^{2}-6=3(y^{2}-2). Zerar para achar críticos:
3(y^{2}-2)=0 \\ \Rightarrow\\ y^{2}=2\\ \Rightarrow\\ y=\pm\sqrt{2}.
Na faixa y\in[0,2] só interessa y=\sqrt{2}. Avaliar g_3 no crítico e nos extremos:
g_3(0)=8,\qquad g_3(2)=8-12+8=4,
g_3(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{3}-6\sqrt{2}+8=2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+8=8-4\sqrt{2}.
Valor exato no ponto crítico é 8-4\sqrt{2}. Se for conveniente usar aproximação \sqrt{2}\approx 1,4 (conforme sugestão), então
8-4\sqrt{2}\approx 8-4\cdot1,4=8-5,6=2,4.
Comparando: g_3(\sqrt{2})\approx 2,4 é menor que g_3(2)=4 e menor que g_3(0)=8. Portanto, na aresta x=2 o mínimo é 8-4\sqrt{2} em (2,\sqrt{2}) e o máximo é 8 em (2,0).

Passo 8

Quarto segmento: y=2. É simétrico ao caso anterior:
g_4(x)=f(x,2)=x^{3}-6x+8,\qquad x\in[0,2],
com derivada g_4'(x)=3x^{2}-6=3(x^{2}-2). Crítico em x=\sqrt{2} no intervalo. Avaliações:
g_4(0)=8,\qquad g_4(2)=4, \qquad g_4(\sqrt{2})=8-4\sqrt{2}\approx 2,4.
Assim, na aresta y=2 o mínimo é 8-4\sqrt{2} em (\sqrt{2},2) e o máximo é 8 em (0,2).

Passo 9

Reunir todos os candidatos a extremos (interior + bordas + vértices) e comparar seus valores.
Pontos e valores encontrados:
(1,1):\\ f=-1,
(0,0):\\ f=0,
(0,2):\\ f=8,
(2,0):\\ f=8,
(2,2):\\ f=4,
(2,\sqrt{2}):\\ f=8-4\sqrt{2}\\ (\approx 2,4\\ \text{se}\\ \sqrt{2}\approx1,4),
(\sqrt{2},2):\\ f=8-4\sqrt{2}\\ (\text{mesmo valor}).
Comparando os valores numéricos vemos que o menor valor entre esses é -1 (em (1,1)) e o maior é 8 (em (0,2) e em (2,0)). Nenhum outro candidato fornece valor menor que -1 nem maior que 8.

Resposta

Mínimo: -1 em (1,1)
Máximo: 8 em (0,2) e (2,0)

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