Determine o valor máximo e o valor mínimo da função
na regiāo
(Se quiser, pode considerar
).
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor máximo e o valor mínimo da função
na região quadrada fechada
Informações úteis dadas:
- A função é definida em todo o plano, portanto em
está bem definida. - A região
é compacta (fechada e limitada), logo pelo Teorema do Valor Extremo atinge máximo e mínimo em .
O que devemos fazer: encontrar todos os pontos candidatos a extremos (pontos críticos no interior e pontos críticos nas fronteiras), avaliarnesses pontos e comparar os valores para decidir o máximo e o mínimo.
Passo 2
Procurar pontos críticos no interior de
usando o gradiente (derivadas parciais).
Calcular as derivadas parciais de :
Calcular as derivadas parciais de
Um ponto crítico no interior satisfaz
Isto dá o sistema
Dividindo por
(para simplificar) obtemos
ou seja
Substituindo
em
vem
Portanto
As soluções são
e
. Correspondentes:
- Se
então , ponto . - Se
então , ponto .
Ambos estão no interior de(na verdade na borda inferior direita? são interiores relativos: e ; ambos pertencem a ; é canto, mas apareceu como solução do sistema — veremos sua classificação).
Passo 3
Avaliar
nos pontos críticos encontrados:
Passo 4
Classificar os pontos críticos no interior pelo teste da segunda derivada (matriz Hessiana).
Calcular segundas derivadas:
Calcular segundas derivadas:
A determinante do Hessiano é
Aplicar em cada ponto:
- Em
:
Quando
o ponto é sela (não é extremo).
- Em
:
e
. Quando
e
temos mínimo local. Logo
é mínimo local com
.
Observação didática rápida: o teste do Hessiano diz que para uma função
duas vezes diferenciável em
,
- se
e então tem mínimo local em ; - se
e então máximo local; - se
então sela.
Passo 5
Agora examinar a borda de
. A borda é composta por quatro segmentos:
com
;
com
;
com
;
com
. Em cada segmento reduzimos a um problema de uma variável.
Primeiro segmento:
. Então
Derivada
em todo o intervalo, logo
é crescente. Valores nos extremos:
Portanto, na borda
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 6
Segundo segmento:
. Então
Derivada
, crescente também. Valores nos extremos:
Assim, na borda
mínimo
em
e máximo
em
.
Passo 7
Terceiro segmento:
. Então temos função de uma variável
Calcular
. Zerar para achar críticos:
Na faixa
só interessa
. Avaliar
no crítico e nos extremos:
Valor exato no ponto crítico é
. Se for conveniente usar aproximação
(conforme sugestão), então
Comparando:
é menor que
e menor que
. Portanto, na aresta
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 8
Quarto segmento:
. É simétrico ao caso anterior:
com derivada
. Crítico em
no intervalo. Avaliações:
Assim, na aresta
o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 9
Reunir todos os candidatos a extremos (interior + bordas + vértices) e comparar seus valores.
Pontos e valores encontrados:
Pontos e valores encontrados:
Comparando os valores numéricos vemos que o menor valor entre esses é
(em
) e o maior é
(em
e em
). Nenhum outro candidato fornece valor menor que
nem maior que
.
Resposta
Mínimo:
em
Máximo: em
e
Máximo: