Questão 3. A função f(x, y)=(x-2)^{3}+y^{3}-3 x-5 y+1 possui quatro pontos críticos. Classifique-os em pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de scla, utilizando o teste da 2^{a} derivada.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=(x-2)^{3}+y^{3}-3x-5y+1
e pede duas coisas: (i) encontrar os quatro pontos críticos; (ii) classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o teste da 2ª derivada.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • Afirma que existem quatro pontos críticos (ou seja, ao resolver as equações \nabla f=0 devemos achar quatro soluções).
    O objetivo é achar esses pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificá‑los.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais primeiras e montar o sistema \nabla f=0. Lembrete rápido: um ponto crítico é um ponto (x,y) onde ambas as derivadas parciais primeiras são zero. Vamos calcular:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}.
Derivando termo a termo:
f_x = \frac{d}{dx}\big((x-2)^3\big) - \frac{d}{dx}(3x) = 3(x-2)^2 - 3,
f_y = \frac{d}{dy}\big(y^3\big) - \frac{d}{dy}(5y) = 3y^2 - 5.
Explicando: usaram‑se as regras básicas de derivada de uma potência ( \frac{d}{du}u^3=3u^2) e a derivada de constantes multiplicadas por variáveis.

Passo 3

Agora igualamos as parciais a zero para achar os pontos críticos:
3(x-2)^2 - 3 = 0,\qquad 3y^2 - 5 = 0.
Dividindo por 3 em cada equação:
(x-2)^2 - 1 = 0,\qquad y^2 - \frac{5}{3} = 0.
Resolver cada uma:
(x-2)^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x-2 = \pm 1 \quad\Rightarrow\quad x=3 \text{ ou } x=1.
y^2 = \frac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad y = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{3}.
Como as equações separam em x e y, combinamos todas as possibilidades e obtemos quatro pontos críticos:
(3,\tfrac{\sqrt{15}}{3}),\quad (3,-\tfrac{\sqrt{15}}{3}),\quad (1,\tfrac{\sqrt{15}}{3}),\quad (1,-\tfrac{\sqrt{15}}{3}).

Passo 4

Agora precisamos classificar cada ponto pelo teste da 2ª derivada (teste do discriminante de Hessian). Vou explicar o que é esse teste e por que funciona, de forma simples.
Para uma função f(x,y) duas vezes diferenciável, definimos as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\quad f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2},\quad f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}.
Construímos o determinante do Hessiano (chamado às vezes de discriminante):
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2.
Regra de classificação no ponto crítico:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Intuição curta: f_{xx} indica curvatura na direção x; D combina curvaturas nas duas direções. Se as curvaturas têm mesmo sinal e D>0, a superfície está “curvada para cima” (mínimo) ou “para baixo” (máximo); sinais opostos dão sela.

Passo 5

Calculamos as segundas derivadas da função:
f_{xx}=\frac{d}{dx}\big(3(x-2)^2-3\big)=6(x-2),
f_{yy}=\frac{d}{dy}\big(3y^2-5\big)=6y,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3(x-2)^2-3\big)=0,
pois não há mistura xy nos termos de f_x. Portanto o discriminante em qualquer ponto é
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = \big(6(x-2)\big)\big(6y\big) - 0 = 36(x-2)y.

Passo 6

Agora avaliamos f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto crítico, prestando atenção apenas ao sinal (positivo/negativo):
  1. Ponto \big(3,\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big):
x-2 = 1 \Rightarrow f_{xx}=6(1)=6>0,
y=\tfrac{\sqrt{15}}{3}>0 \Rightarrow f_{yy}=6y=6\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{3}=2\sqrt{15}>0,
D=36(x-2)y =36\cdot1\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{3}=12\sqrt{15}>0.
Conclusão (a partir das regras): D>0 e f_{xx}>0 \Rightarrow mínimo local.
  1. Ponto \big(3,-\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big):
x-2 = 1 \Rightarrow f_{xx}=6>0,
y=-\tfrac{\sqrt{15}}{3}<0 \Rightarrow f_{yy}=6y= -2\sqrt{15}<0,
D=36\cdot1\cdot\big(-\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big) = -12\sqrt{15}<0.
Conclusão: D<0 \Rightarrow ponto de sela.
  1. Ponto \big(1,\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big):
x-2 = -1 \Rightarrow f_{xx}=6(-1)=-6<0,
y=\tfrac{\sqrt{15}}{3}>0 \Rightarrow f_{yy}=2\sqrt{15}>0,
D=36(-1)\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{3} = -12\sqrt{15}<0.
Conclusão: D<0 \Rightarrow ponto de sela.
  1. Ponto \big(1,-\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big):
x-2 = -1 \Rightarrow f_{xx}=-6<0,
y=-\tfrac{\sqrt{15}}{3}<0 \Rightarrow f_{yy}=-2\sqrt{15}<0,
D=36(-1)\cdot\big(-\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big) = 12\sqrt{15}>0.
Conclusão: D>0 e f_{xx}<0 \Rightarrow máximo local.

Passo 7

Resumo interpretativo (um jeitinho para fixar): quando x=3 a curvatura na direção x é para cima ( f_{xx}>0); quando x=1 ela é para baixo ( f_{xx}<0). O sinal de y muda a curvatura em y. Só quando os sinais de curvatura em x e y coincidem (produto positivo) temos máximo ou mínimo; quando têm sinais opostos o ponto é sela. Isso é exatamente o que vimos nos cálculos acima.

Resposta

\big(3,\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big) — mínimo local
\big(3,-\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big) — ponto de sela
\big(1,\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big) — ponto de sela
\big(1,-\tfrac{\sqrt{15}}{3}\big) — máximo local

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