Questão 3. A função
possui quatro pontos críticos. Classifique-os em pontos de mínimo local, máximo local ou pontos de scla, utilizando o teste da
derivada.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas: (i) encontrar os quatro pontos críticos; (ii) classificar cada um como mínimo local, máximo local ou ponto de sela usando o teste da 2ª derivada.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
. - Afirma que existem quatro pontos críticos (ou seja, ao resolver as equações
devemos achar quatro soluções).
O objetivo é achar esses pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificá‑los.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais primeiras e montar o sistema
. Lembrete rápido: um ponto crítico é um ponto
onde ambas as derivadas parciais primeiras são zero. Vamos calcular:
Derivando termo a termo:
Explicando: usaram‑se as regras básicas de derivada de uma potência (
) e a derivada de constantes multiplicadas por variáveis.
Passo 3
Agora igualamos as parciais a zero para achar os pontos críticos:
Dividindo por
em cada equação:
Resolver cada uma:
Como as equações separam em
e
, combinamos todas as possibilidades e obtemos quatro pontos críticos:
Passo 4
Agora precisamos classificar cada ponto pelo teste da 2ª derivada (teste do discriminante de Hessian). Vou explicar o que é esse teste e por que funciona, de forma simples.
Para uma função
duas vezes diferenciável, definimos as segundas derivadas:
Construímos o determinante do Hessiano (chamado às vezes de discriminante):
Regra de classificação no ponto crítico:
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Intuição curta:
indica curvatura na direção
;
combina curvaturas nas duas direções. Se as curvaturas têm mesmo sinal e
, a superfície está “curvada para cima” (mínimo) ou “para baixo” (máximo); sinais opostos dão sela.
Passo 5
Calculamos as segundas derivadas da função:
pois não há mistura
nos termos de
. Portanto o discriminante em qualquer ponto é
Passo 6
Agora avaliamos
,
e
em cada ponto crítico, prestando atenção apenas ao sinal (positivo/negativo):
- Ponto
:
Conclusão (a partir das regras):
e
mínimo local.
- Ponto
:
Conclusão:
ponto de sela.
- Ponto
:
Conclusão:
ponto de sela.
- Ponto
:
Conclusão:
e
máximo local.
Passo 7
Resumo interpretativo (um jeitinho para fixar): quando
a curvatura na direção
é para cima (
); quando
ela é para baixo (
). O sinal de
muda a curvatura em
. Só quando os sinais de curvatura em
e
coincidem (produto positivo) temos máximo ou mínimo; quando têm sinais opostos o ponto é sela. Isso é exatamente o que vimos nos cálculos acima.