Uma empresa farmacēutica desenvolveu um novo medicamento e precisa determinar a dosagem ótima para maximizar sua eficácia. Estudos clinicos mostram que a eficácia E (medida cu uma escala de 0 a 100 ) em função da dose d (em miligramas) é dada por:
E(d)=\frac{100 d}{d^{2}+25}
(a) Determine E^{\prime}(d) usando a regra do quociente.
(b) Encontro todos os pontos críticos de E no domínio d>0.
(c) Determine a dosagem que maximiza a eficácia, justificando pelo teste da primeira derivada. Calcule também a eficácia máxima obtida

Passo 1

O enunciado dá a eficácia E em função da dose d (em miligramas):
E(d)=\frac{100\,d}{d^{2}+25},
com domínio considerado d>0. O que pede o problema:
(a) Determinar E^{\prime}(d) usando a regra do quociente.
(b) Encontrar todos os pontos críticos de E para d>0.
(c) Determinar a dosagem que maximiza a eficácia, justificando pelo teste da primeira derivada, e calcular a eficácia máxima obtida.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função E(d) é racional e está definida para todo d\in\mathbb{R}, em particular para d>0.
  • Vamos precisar da derivada de E e analisar onde ela é zero ou não existe para obter pontos críticos; depois usar o teste da primeira derivada (sinal de E' à esquerda e à direita do ponto crítico) para concluir se é máximo ou mínimo.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente. Vou explicar a regra com calma:
Regra do quociente: para duas funções u(d) e v(d) com v(d)\neq0,
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui, identificamos
u(d)=100\,d,\qquad v(d)=d^{2}+25.
Agora calculamos u' e v':
u'(d)=100,\qquad v'(d)=2d.
Aplicando a regra do quociente:
E'(d)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{100\,(d^{2}+25)-100d\cdot(2d)}{(d^{2}+25)^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo:
100\,(d^{2}+25)=100d^{2}+2500, \qquad 100d\cdot(2d)=200d^{2}.
Subtraindo:
100d^{2}+2500-200d^{2}=2500-100d^{2}.
Logo a derivada simplificada é
E'(d)=\frac{2500-100d^{2}}{(d^{2}+25)^{2}}.
Fatorando 100 no numerador (opcional, mas útil para analisar sinais):
E'(d)=\frac{100\,(25-d^{2})}{(d^{2}+25)^{2}}.

Passo 3

Pontos críticos são pontos do domínio onde E'(d)=0 ou onde E'(d) não está definida.
  1. Zeros de E'(d): resolver E'(d)=0. Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador é não nulo). Usamos a forma fatorada:
100\,(25-d^{2})=0 \quad\Longrightarrow\quad 25-d^{2}=0.
Assim
d^{2}=25 \quad\Longrightarrow\quad d=\pm 5.
Como estamos considerando o domínio d>0, fica d=5. Portanto d=5 é candidato a ponto crítico.
  1. Pontos onde E'(d) não está definida: o denominador é (d^{2}+25)^{2}. Como d^{2}+25\ge25>0 para todo real d, o denominador nunca se anula e E'(d) está definida para todo d. Logo não há pontos críticos desse tipo.
Conclusão deste passo: o único ponto crítico em d>0 é d=5.

Passo 4

Aplicar o teste da primeira derivada (análise de sinal de E') para decidir se d=5 é máximo ou mínimo.
Usamos a expressão
E'(d)=\frac{100\,(25-d^{2})}{(d^{2}+25)^{2}}.
O fator 100 é positivo sempre; o denominador (d^{2}+25)^{2} é sempre positivo. Então o sinal de E'(d) é o mesmo do fator (25-d^{2}), que é positivo quando 25-d^{2}>0 (ou seja d^{2}<25) e negativo quando 25-d^{2}<0 (ou seja d^{2}>25).
  • Para 0<d<5 temos d^{2}<25 então 25-d^{2}>0 e E'(d)>0. Isso significa que E é crescente em (0,5).
  • Para d>5 temos d^{2}>25 então 25-d^{2}<0 e E'(d)<0. Isso significa que E é decrescente em (5,\infty).
Como E' muda de positivo para negativo ao passar por d=5, pelo teste da primeira derivada d=5 é um ponto de máximo local. Além disso, como E(d)\to0 quando d\to0^{+} e também E(d)\to0 quando d\to\infty (podemos verificar os limites rapidamente), esse máximo local em d=5 é, na verdade, o máximo global para d>0. Vou mostrar estes limites brevemente para completar o raciocínio:
  • Limite quando d\to0^{+}:
\lim_{d\to0^{+}}E(d)=\lim_{d\to0^{+}}\frac{100d}{d^{2}+25}=0.
  • Limite quando d\to\infty:
\lim_{d\to\infty}\frac{100d}{d^{2}+25}=\lim_{d\to\infty}\frac{100}{d+\tfrac{25}{d}}=0.
Como a função parte de 0, sobe e depois volta para 0, o pico em d=5 é o valor máximo absoluto.

Passo 5

Calcular a eficácia máxima em d=5. Substituímos em E(d):
E(5)=\frac{100\cdot 5}{5^{2}+25}=\frac{500}{25+25}=\frac{500}{50}=10.
Portanto a eficácia máxima é 10 (na escala de 0 a 100) e ocorre na dosagem d=5 miligramas.
Observação final e palavra amiga: surpreendentemente a eficácia máxima é relativamente baixa ( 10 de 100), então do ponto de vista farmacêutico pode indicar que o tratamento não dá muita resposta máxima na escala usada — mas matematicamente a conclusão sobre o ponto ótimo está completa.

Resposta

(a) E'(d)=\dfrac{100\,(25-d^{2})}{(d^{2}+25)^{2}}
(b) Ponto crítico em d=5 (para d>0).
(c) Dosagem que maximiza a eficácia: d=5 mg. Eficácia máxima: E(5)=10.

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