Uma empresa farmacēutica desenvolveu um novo medicamento e precisa determinar a dosagem ótima para maximizar sua eficácia. Estudos clinicos mostram que a eficácia
(medida cu uma escala de 0 a 100 ) em função da dose
(em miligramas) é dada por:
(a) Determine
usando a regra do quociente.
(b) Encontro todos os pontos críticos de
no domínio
.
(c) Determine a dosagem que maximiza a eficácia, justificando pelo teste da primeira derivada. Calcule também a eficácia máxima obtida
(b) Encontro todos os pontos críticos de
(c) Determine a dosagem que maximiza a eficácia, justificando pelo teste da primeira derivada. Calcule também a eficácia máxima obtida
Passo 1
O enunciado dá a eficácia
em função da dose
(em miligramas):
com domínio considerado
. O que pede o problema:
(a) Determinar
usando a regra do quociente.
(b) Encontrar todos os pontos críticos de para
.
(c) Determinar a dosagem que maximiza a eficácia, justificando pelo teste da primeira derivada, e calcular a eficácia máxima obtida.
(b) Encontrar todos os pontos críticos de
(c) Determinar a dosagem que maximiza a eficácia, justificando pelo teste da primeira derivada, e calcular a eficácia máxima obtida.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é racional e está definida para todo , em particular para . - Vamos precisar da derivada de
e analisar onde ela é zero ou não existe para obter pontos críticos; depois usar o teste da primeira derivada (sinal de à esquerda e à direita do ponto crítico) para concluir se é máximo ou mínimo.
Passo 2
Vamos aplicar a regra do quociente. Vou explicar a regra com calma:
Regra do quociente: para duas funções
e
com
,
Aqui, identificamos
Agora calculamos
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Logo a derivada simplificada é
Fatorando
no numerador (opcional, mas útil para analisar sinais):
Passo 3
Pontos críticos são pontos do domínio onde
ou onde
não está definida.
- Zeros de
: resolver . Uma fração é zero quando o numerador é zero (e o denominador é não nulo). Usamos a forma fatorada:
Assim
Como estamos considerando o domínio
, fica
. Portanto
é candidato a ponto crítico.
- Pontos onde
não está definida: o denominador é . Como para todo real , o denominador nunca se anula e está definida para todo . Logo não há pontos críticos desse tipo.
Conclusão deste passo: o único ponto crítico em
é
.
Passo 4
Aplicar o teste da primeira derivada (análise de sinal de
) para decidir se
é máximo ou mínimo.
Usamos a expressão
O fator
é positivo sempre; o denominador
é sempre positivo. Então o sinal de
é o mesmo do fator
, que é positivo quando
(ou seja
) e negativo quando
(ou seja
).
- Para
temos então e . Isso significa que é crescente em . - Para
temos então e . Isso significa que é decrescente em .
Como
muda de positivo para negativo ao passar por
, pelo teste da primeira derivada
é um ponto de máximo local. Além disso, como
quando
e também
quando
(podemos verificar os limites rapidamente), esse máximo local em
é, na verdade, o máximo global para
. Vou mostrar estes limites brevemente para completar o raciocínio:
- Limite quando
:
- Limite quando
:
Como a função parte de 0, sobe e depois volta para 0, o pico em
é o valor máximo absoluto.
Passo 5
Calcular a eficácia máxima em
. Substituímos em
:
Portanto a eficácia máxima é
(na escala de 0 a 100) e ocorre na dosagem
miligramas.
Observação final e palavra amiga: surpreendentemente a eficácia máxima é relativamente baixa (
de
), então do ponto de vista farmacêutico pode indicar que o tratamento não dá muita resposta máxima na escala usada — mas matematicamente a conclusão sobre o ponto ótimo está completa.
Resposta
(a)
(b) Ponto crítico em (para
).
(c) Dosagem que maximiza a eficácia: mg. Eficácia máxima:
.
(b) Ponto crítico em
(c) Dosagem que maximiza a eficácia: