Determine e o valor máximo, o valor mínimo e a imagem, das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o valor máximo, o valor mínimo e a imagem da função
Informações relevantes fornecidas:
Como se trata de um polinômio, o domínio natural (informação útil) é
Passo 2
O que queremos encontrar, de forma prática:
- O valor mínimo ou máximo: é o menor ou maior valor que
atinge quando varia em . - A imagem: o conjunto de todos os valores
que pode assumir, isto é, .
Observação intuitiva importante (sem usar jargões pesados): a expressão
é um polinômio quadrático. Uma forma simples e prática de descobrir o mínimo ou máximo de um quadrático é completar o quadrado — isso mostra claramente o “ponto mais baixo” ou “ponto mais alto” da parábola representada por
.
Passo 3
Vamos completar o quadrado passo a passo. Escrevo
agrupando os termos quadráticos e lineares:
Para completar o quadrado de
, adiciono e subtraio o quadrado de metade do coeficiente de
. A metade de
é
, e o quadrado é
. Então:
Substituindo na função:
Simplificando os constantes:
Passo 4
Interpretação do resultado
:
- O termo
é um quadrado, portanto é sempre maior ou igual a :
- Então
Isso mostra que
nunca fica abaixo de
. Logo
é um limite inferior para
.
Passo 5
Existência e localização do mínimo:
- O menor valor que
pode assumir é , e isso ocorre quando , ou seja, quando . - Substituindo
em :
Portanto
atinge o valor mínimo
em
.
Sobre existência de máximo:
- Como
cresce sem limite quando cresce, a expressão também cresce sem limite para . Assim não tem um valor máximo — para muito grande em módulo, fica arbitrariamente grande. - Em linguagem de conjunto: os valores de
são todos os números reais maiores ou iguais a .
Passo 6
Conclusão sobre a imagem:
- Como
para todo e o valor é atingido (em ), a imagem (conjunto-valor) de é
Resposta
Valor máximo: não existe
Valor mínimo:
em
Imagem: