Determine e o valor máximo, o valor mínimo e a imagem, das seguintes funções.
f(x)=x^{2}+2 x-3

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o valor máximo, o valor mínimo e a imagem da função
f(x)=x^{2}+2x-3.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Expressão da função: }f(x)=x^{2}+2x-3.ãçã
Como se trata de um polinômio, o domínio natural (informação útil) é
\mathbb{R}.

Passo 2

O que queremos encontrar, de forma prática:
  • O valor mínimo ou máximo: é o menor ou maior valor que f(x) atinge quando x varia em \mathbb{R}.
  • A imagem: o conjunto de todos os valores y que f(x) pode assumir, isto é, \{y\in\mathbb{R}\mid y=f(x)\text{ para algum }x\in\mathbb{R}\}.
Observação intuitiva importante (sem usar jargões pesados): a expressão \,x^{2}+2x-3 é um polinômio quadrático. Uma forma simples e prática de descobrir o mínimo ou máximo de um quadrático é completar o quadrado — isso mostra claramente o “ponto mais baixo” ou “ponto mais alto” da parábola representada por f.

Passo 3

Vamos completar o quadrado passo a passo. Escrevo f(x) agrupando os termos quadráticos e lineares:
f(x)=x^{2}+2x-3.
Para completar o quadrado de x^{2}+2x, adiciono e subtraio o quadrado de metade do coeficiente de x. A metade de 2 é 1, e o quadrado é 1^{2}=1. Então:
x^{2}+2x = (x^{2}+2x+1)-1 = (x+1)^{2}-1.
Substituindo na função:
f(x)=(x+1)^{2}-1-3.
Simplificando os constantes:
f(x)=(x+1)^{2}-4.

Passo 4

Interpretação do resultado \,f(x)=(x+1)^{2}-4:
  • O termo (x+1)^{2} é um quadrado, portanto é sempre maior ou igual a 0:
(x+1)^{2}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Então
f(x)=(x+1)^{2}-4 \ge 0-4 = -4.
Isso mostra que f(x) nunca fica abaixo de -4. Logo -4 é um limite inferior para f.

Passo 5

Existência e localização do mínimo:
  • O menor valor que (x+1)^{2} pode assumir é 0, e isso ocorre quando x+1=0, ou seja, quando x=-1.
  • Substituindo x=-1 em f:
f(-1) = ( -1 + 1 )^{2} - 4 = 0 - 4 = -4.
Portanto f atinge o valor mínimo -4 em x=-1.
Sobre existência de máximo:
  • Como (x+1)^{2} cresce sem limite quando |x| cresce, a expressão (x+1)^{2}-4 também cresce sem limite para +\infty. Assim f(x) não tem um valor máximo — para x muito grande em módulo, f(x) fica arbitrariamente grande.
  • Em linguagem de conjunto: os valores de f são todos os números reais maiores ou iguais a -4.

Passo 6

Conclusão sobre a imagem:
  • Como f(x)\ge -4 para todo x e o valor -4 é atingido (em x=-1), a imagem (conjunto-valor) de f é
[-4,\; +\infty).

Resposta

Valor máximo: não existe
Valor mínimo: -4 em x=-1
Imagem: [-4,\,+\infty)

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