Mostre que para qualquer valor real não nulo de
, a função quadrática dada por
não tem raízes reais.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre que, para qualquer valor real não nulo de
, a função quadrática
não tem raízes reais. Informações dadas e condições relevantes:
- A função é
. - O parâmetro
é um número real e satisfaz . - Queremos concluir que não existe
tal que .
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): para uma função quadrática geral
os coeficientes são
,
e
. O discriminante é definido por
A relação entre
e as raízes reais é:
- se
a equação tem duas raízes reais distintas; - se
a equação tem uma raiz real dupla; - se
a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas).
Isto vem da fórmula quadrática das raízes:
onde
precisa ser um número real para as raízes serem reais. Se
,
não é real, logo não há raízes reais.
Passo 3
Identifico os coeficientes da nossa função comparando com
:
Isso vem diretamente dos termos de
.
Passo 4
Calculo o discriminante usando os coeficientes encontrados:
Faço as simplificações passo a passo:
portanto
Passo 5
Analiso o sinal de
. Como
, temos
. Multiplicando por
(que é negativo) obtemos
Pelo parágrafo da aula rápida (Passo 2), se
não existem raízes reais. Logo, para todo
a função
não tem raízes reais.
Passo 6
(Solução alternativa — completar o quadrado; é útil para intuição)
Fatorei na expressão:
Fatorei
Completo o quadrado dentro do parêntese:
Portanto
Note que
para todo
, então
para todo
. Como
, o produto de
por um número sempre estritamente positivo não pode ser zero. Assim não existe
tal que
. Isso confirma a conclusão obtida pelo discriminante.
Resposta
A função não tem raízes reais para todo
.