Mostre que para qualquer valor real não nulo de k, a função quadrática dada por f(x)=k x^{2}-2 k x+3 k não tem raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre que, para qualquer valor real não nulo de k, a função quadrática
f(x)=k x^{2}-2 k x+3 k
não tem raízes reais. Informações dadas e condições relevantes:
  • A função é f(x)=k x^{2}-2 k x+3 k.
  • O parâmetro k é um número real e satisfaz k\neq 0.
  • Queremos concluir que não existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=0.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): para uma função quadrática geral
a x^{2}+b x+c,
os coeficientes são a, b e c. O discriminante é definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
A relação entre \Delta e as raízes reais é:
  • se \Delta>0 a equação tem duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0 a equação tem uma raiz real dupla;
  • se \Delta<0 a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas).
    Isto vem da fórmula quadrática das raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \sqrt{\Delta} precisa ser um número real para as raízes serem reais. Se \Delta<0, \sqrt{\Delta} não é real, logo não há raízes reais.

Passo 3

Identifico os coeficientes da nossa função comparando com a x^{2}+b x+c:
a = k,\qquad b = -2k,\qquad c = 3k.
Isso vem diretamente dos termos de f(x)=k x^{2}-2 k x+3 k.

Passo 4

Calculo o discriminante usando os coeficientes encontrados:
\Delta = b^{2}-4ac = (-2k)^{2}-4\cdot k\cdot 3k.
Faço as simplificações passo a passo:
(-2k)^{2}=4k^{2},
4\cdot k\cdot 3k = 12k^{2},
portanto
\Delta = 4k^{2}-12k^{2} = -8k^{2}.

Passo 5

Analiso o sinal de \Delta. Como k\neq 0, temos k^{2}>0. Multiplicando por -8 (que é negativo) obtemos
\Delta = -8k^{2}<0.
Pelo parágrafo da aula rápida (Passo 2), se \Delta<0 não existem raízes reais. Logo, para todo k\neq 0 a função f(x) não tem raízes reais.

Passo 6

(Solução alternativa — completar o quadrado; é útil para intuição)
Fatorei k na expressão:
f(x)=k\bigl(x^{2}-2x+3\bigr).
Completo o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}-2x+3 = (x^{2}-2x+1)+2 = (x-1)^{2}+2.
Portanto
f(x)=k\bigl((x-1)^{2}+2\bigr).
Note que (x-1)^{2}\ge 0 para todo x, então (x-1)^{2}+2\ge 2>0 para todo x. Como k\neq 0, o produto de k por um número sempre estritamente positivo não pode ser zero. Assim não existe x tal que f(x)=0. Isso confirma a conclusão obtida pelo discriminante.

Resposta

A função não tem raízes reais para todo k\neq 0.

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