Determine o valor médio da função f(x)=x^{2}-1 em (0,3)

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x)=x^2-1 no intervalo (0,3). Para resolver, vamos usar a definição de valor médio de uma função em um intervalo, que envolve integrar f em [0,3] e depois dividir pelo comprimento do intervalo.

Passo 2

A definição de valor médio \bar f de uma função f em [a,b] é
\bar f = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx.
Aqui temos a=0 e b=3, então
\bar f = \frac{1}{3-0} \int_0^3 (x^2 - 1)\,dx.

Passo 3

Vamos calcular a integral
\int_0^3 (x^2 - 1)\,dx.
Uma antiderivada de x^2 - 1 é \frac{x^3}{3} - x. Avaliando entre 0 e 3
\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^3 = \Bigl(\tfrac{27}{3}-3\Bigr) - (0-0) = 9 - 3 = 6.

Passo 4

Agora dividimos o resultado da integral pelo comprimento do intervalo, que é 3:
\bar f = \frac{6}{3} = 2.

Resposta

2

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