Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{x^{2}+6 x+5}{x^{2}+10 x+9}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1}\Bigl(\frac{x^{2}+6x+5}{x^{2}+10x+9}\Bigr)^{10}.
Como ambos numerador e denominador se anulam em x=-1, temos uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar fatoração para simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}+6x+5 = (x+1)(x+5), \qquad x^{2}+10x+9 = (x+1)(x+9).
Assim a fração torna-se, para x\neq -1,
\frac{x^{2}+6x+5}{x^{2}+10x+9} = \frac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+9)} = \frac{x+5}{x+9}.

Passo 3

Com a simplificação, o limite passa a ser
\lim_{x\to -1}\frac{x+5}{x+9} = \frac{-1+5}{-1+9} = \frac{4}{8} = \tfrac12.

Passo 4

Como a função g(x)=(\tfrac{x+5}{x+9})^{10} é contínua onde foi simplificada, vale
\lim_{x\to -1}g(x) = \Bigl(\lim_{x\to -1}\frac{x+5}{x+9}\Bigr)^{10} = \bigl(\tfrac12\bigr)^{10} = \frac{1}{1024}.

Resposta

O limite existe e vale \displaystyle \frac{1}{1024}$.

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