Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\bigl[\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\bigr].
Percebemos que, quando x\to+\infty, cada termo \sqrt{x^{2}\pm1} tende a +\infty, então temos a forma indeterminada “ \infty-\infty”. Para resolver esse tipo de indeterminação, vamos usar a técnica de multiplicar e dividir pela conjugada.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}, ou seja, consideramos
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \bigl[\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\bigr] \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.
No numerador obtemos a diferença de quadrados:
(\sqrt{x^{2}+1})^{2} - (\sqrt{x^{2}-1})^{2} = (x^{2}+1)-(x^{2}-1) =2.
Portanto a expressão fica
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}}.

Passo 3

Agora analisamos o limite de \frac{2}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1}} quando x\to+\infty. Extraímos x de cada raiz:
\sqrt{x^{2}\pm1} = x\,\sqrt{1\pm \tfrac{1}{x^{2}}},
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\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}-1} = x\Bigl(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\Bigr).
Assim
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1} = \frac{2}{\,x\bigl(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}\bigr)\!}.
Quando x\to+\infty, temos \sqrt{1+1/x^{2}}\to1 e \sqrt{1-1/x^{2}}\to1, de modo que o denominador cresce como 2x. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\bigl[\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\bigr] = \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{2x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x} =0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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