Determine o valor médio do raio <r> de um elétron no estado fundamental de um átomo hidrogenóide com Z prótons (átomo com Z prótons, mas apenas um elétron). Dê sua resposta em múltiplos de a0 com duas casas decimais. Sugestão:
& P100(r)=4(Zao)^3 r^2 e^-2 Z r / ao integral x^3 e^b x d x=e^b xb(x^3-2 x^2b+6 xb^2-6b^3) b=-2 Z / ao & R: =integral0^infty r P(r) d r=[4(Zao)^3 e^-2 Z r / aob(r^3-2 r^2b+6 rb^2-6b^3]0^infty=4(Zao)^3 1b(6b^3)=4(Zao)^3 1(6b^4)=24 ao16 Z=1, 5 aoZ

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de Física Quântica sobre átomos hidrogenóides. A missão é descobrir o valor médio do raio $ \langle r \rangle $ de um elétron no estado fundamental desse átomo que tem $ Z $ prótons. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de probabilidade e integrais. Vamos calcular tudo passo a passo para chegar na resposta final em múltiplos do raio de Bohr $ a_0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função de probabilidade $ P_{100}® $ nos dá a chance do elétron estar em uma certa distância $ r $ do núcleo. Para o estado fundamental, essa função é dada por:
P100(r)
Aqui, $ Z $ é o número de prótons e $ a_0 $ é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio.

Passo 3

Para encontrar o valor médio do raio $ \langle r \rangle $, a gente precisa fazer a média ponderada de $ r $ usando essa função de probabilidade. Matemáticamente, isso é expresso como:
lang<= r rang<=
Então, substituímos $ P® $ na integral:
r

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão:
lang<= r rang<= = 4(Za0)^3 integral0^infty r^3 e^-2 Z r / a0 , dr
Para resolver essa integral, usamos uma fórmula padrão de cálculo de integrais do tipo $ \int x^{n} e^{bx} , dx $. No nosso caso:
integral x^n e^bx , dx
Depois, avaliamos essa expressão de 0 a infinito. Note que, quando $ r $ tende ao infinito, a exponencial $ e^{-2 Z r / a_{0}} $ faz com que toda a expressão vá a zero. Portanto, o que sobra é a parte constante:
integral r^3 e^-2 Z r / a0 , dr = e^-2 Z r / a0-2 Z / a0 (r^3 - 3 r^2 a02 Z + 6 r a0^2(2 Z)^2 - 6 a0^3(2 Z)^3)

Resposta

O valor médio do raio $ \langle r \rangle $ é $ 1{,}50 \frac{a_{0}}{Z} $.

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