Determine o valor médio do raio <r> de um elétron no estado fundamental de um átomo hidrogenóide com
prótons (átomo com
prótons, mas apenas um elétron). Dê sua resposta em múltiplos de
com duas casas decimais. Sugestão:
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de Física Quântica sobre átomos hidrogenóides. A missão é descobrir o valor médio do raio $ \langle r \rangle $ de um elétron no estado fundamental desse átomo que tem $ Z $ prótons. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de probabilidade e integrais. Vamos calcular tudo passo a passo para chegar na resposta final em múltiplos do raio de Bohr $ a_0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função de probabilidade $ P_{100}® $ nos dá a chance do elétron estar em uma certa distância $ r $ do núcleo. Para o estado fundamental, essa função é dada por:
Aqui, $ Z $ é o número de prótons e $ a_0 $ é o raio de Bohr, uma constante que caracteriza o tamanho do átomo de hidrogênio.
Passo 3
Para encontrar o valor médio do raio $ \langle r \rangle $, a gente precisa fazer a média ponderada de $ r $ usando essa função de probabilidade. Matemáticamente, isso é expresso como:
Então, substituímos $ P® $ na integral:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão:
Para resolver essa integral, usamos uma fórmula padrão de cálculo de integrais do tipo $ \int x^{n} e^{bx} , dx $. No nosso caso:
Depois, avaliamos essa expressão de 0 a infinito. Note que, quando $ r $ tende ao infinito, a exponencial $ e^{-2 Z r / a_{0}} $ faz com que toda a expressão vá a zero. Portanto, o que sobra é a parte constante:
Resposta
O valor médio do raio $ \langle r \rangle $ é $ 1{,}50 \frac{a_{0}}{Z} $.