Para as funções abaixo, defina (se possível)
para que a mesma seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para definir f(0,0) de modo que a função f(x,y)=x²y²/(x⁶+y⁴) seja contínua em (0,0). Isso equivale a verificar se o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) existe e é finito.
Passo 2
Uma forma de testar a existência do limite em várias direções é escolher caminhos distintos até (0,0). Primeiro, ao longo de y=0 temos f(x,0)=0 para todo x≠0. Logo, ao longo dessa reta o limite é 0.
Passo 3
Agora, considere o caminho y=k·x^(3/2) com k≠0. Substituindo na expressão de f:
Passo 4
Como x→0, o termo 1/x→∞, portanto o valor da função se torna ilimitado nesse caminho. Isso mostra que o limite não existe (é infinito em certas direções).
Passo 5
Quando o limite não existe ou não é finito, não há como atribuir um valor em (0,0) que torne a função contínua ali.
Resposta
Não existe valor de f(0,0) que torne a função contínua em (0,0).