Para as funções abaixo, defina (se possível) f(0,0) para que a mesma seja contínua em (0,0).
f(x, y)=x^2 y^2 /(x^6+y^4)

Passo 1

O enunciado pede para definir f(0,0) de modo que a função f(x,y)=x²y²/(x⁶+y⁴) seja contínua em (0,0). Isso equivale a verificar se o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) existe e é finito.

Passo 2

Uma forma de testar a existência do limite em várias direções é escolher caminhos distintos até (0,0). Primeiro, ao longo de y=0 temos f(x,0)=0 para todo x≠0. Logo, ao longo dessa reta o limite é 0.

Passo 3

Agora, considere o caminho y=k·x^(3/2) com k≠0. Substituindo na expressão de f:
x^2,(k^2,x^3)x^6 + (k^2,x^3)^2 = k^2,x^5x^6 + k^4,x^6 = k^21+k^4,1x

Passo 4

Como x→0, o termo 1/x→∞, portanto o valor da função se torna ilimitado nesse caminho. Isso mostra que o limite não existe (é infinito em certas direções).

Passo 5

Quando o limite não existe ou não é finito, não há como atribuir um valor em (0,0) que torne a função contínua ali.

Resposta

Não existe valor de f(0,0) que torne a função contínua em (0,0).

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