Determine o valor de k de modo que
\int_{k}^{5} \frac{6}{2 x+2} d x=0.54696467038186

Passo 1

O enunciado pede para achar k tal que
\int_{k}^{5}\frac{6}{2x+2}\,dx = 0.54696467038186.
Aqui vamos usar que a integral de uma função racional simples e, em seguida, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Simplificamos o integrando:
\frac{6}{2x+2} = \frac{6}{2(x+1)} = \frac{3}{x+1}.
Logo, uma primitiva de \frac{6}{2x+2} é
\int \frac{6}{2x+2}\,dx = \int \frac{3}{x+1}\,dx = 3\ln\lvert x+1\rvert + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{k}^{5}\frac{6}{2x+2}\,dx = \Bigl[\,3\ln\lvert x+1\rvert\Bigr]_{x=k}^{x=5} = 3\ln\lvert 5+1\rvert - 3\ln\lvert k+1\rvert = 3\ln\frac{6}{k+1}.

Passo 4

Igualamos ao valor dado:
3\ln\frac{6}{k+1} = 0.54696467038186.
Dividindo por 3,
\ln\frac{6}{k+1} = \frac{0.54696467038186}{3} = 0.1823215567939533.
Logo
\frac{6}{k+1} = e^{0.1823215567939533} \quad\Longrightarrow\quad k+1 = 6e^{-0.1823215567939533}.

Passo 5

Como 0.1823215567939533 = \ln(1.2), temos e^{-0.1823215567939533}=1/1.2. Assim
k+1 = \frac{6}{1.2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad k = 4.

Resposta

k = 4

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