Para as seguintes funções:
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores máximo e mínimo local de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede, para cada função, que a) identifiquemos os intervalos de crescimento e decrescimento, b) localizemos e classifiquemos os extremos locais e c) determinemos os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Vamos usar derivadas de primeira ordem para (a) e (b) e derivadas de segunda ordem para (c).
Passo 2
Para
:
- Derivada primeira:
Zera em
. O quadro de sinais dá:
– em
e em
,
– em
.
Logo, cresce em
e decresce em
. Em
há máximo local com
e em
mínimo local com
.
–
–
Logo,
- Derivada segunda:
Zera em
. Como
para
e
para
,
é côncava para baixo em
, côncava para cima em
e tem ponto de inflexão em
.
Passo 3
Para
:
- Derivada primeira:
raízes em
. Sinal:
– cresce em ,
,
– decresce em ,
.
Extremos locais em (mínimo,
), em
(máximo,
) e em
(mínimo,
).
– cresce em
– decresce em
Extremos locais em
- Derivada segunda:
zera em
. Como
para
e
para
, concavidade para baixo em
, para cima em
e pontos de inflexão em
.
Passo 4
Para
:
- Derivada primeira:
Zera em
. Como
para
e
para
,
decresce em
, cresce em
e tem mínimo local em
.
- Derivada segunda:
Zera em
. Como
em
e
em
, concavidade para cima em
, para baixo em
e pontos de inflexão em
.
Passo 5
Para
,
:
- Derivada primeira:
Zera em
. Como
em
,
em
, há mínimo local em
.
- Derivada segunda:
zera em
. Como
em
e
em
,
é côncava para baixo em
, côncava para cima em
e tem ponto de inflexão em
.
Passo 6
Para
,
:
- Derivada primeira:
Zera em
e
. Analisando o sinal de
em cada subintervalo de
determina-se onde cresce e decresce e conclui-se que há extremos locais em
e
.
- Derivada segunda:
Igualando a zero obtém-se
ou
, ou seja
. O sinal de
em cada intervalo dá os arcos de concavidade e os pontos de inflexão nesses três
.
Passo 7
Para
,
:
- Derivada primeira:
Zera em
. Como
em
e
em
, há máximo local em
.
- Derivada segunda:
Zera em
. O sinal de
dá concavidade para baixo em
e para cima em
, com ponto de inflexão em
.
Resposta
I. a) cresce em
, decresce em
.
b) máximo local em , mínimo local em
.
c) côncava em baixo em , em cima em
; inflexão em
.
b) máximo local em
c) côncava em baixo em
II. a) cresce em
, decresce em
.
b) mínimos em e
, máximo em
.
c) côncava para baixo em , para cima em
; inflexões em
.
b) mínimos em
c) côncava para baixo em
III. a) decresce em
, cresce em
.
b) mínimo em .
c) côncava para cima em , para baixo em
; inflexões em
.
b) mínimo em
c) côncava para cima em
IV. a) decresce em
, cresce em
.
b) mínimo em .
c) côncava para baixo em , para cima em
; inflexão em
.
b) mínimo em
c) côncava para baixo em
V. a) cresce e decresce alternadamente com extremos em
.
b) máximo e mínimo nessas abscissas, respectivamente.
c) concavidade alternada com inflexões em .
b) máximo e mínimo nessas abscissas, respectivamente.
c) concavidade alternada com inflexões em
VI. a) cresce em
, decresce em
.
b) máximo em .
c) côncava para baixo em , para cima em
; inflexão em
.
b) máximo em
c) côncava para baixo em