Para as seguintes funções:
I. f(x)=x^{3}-12 x+1
II. f(x)=x^{4}-2 x^{2}+3
III. f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+3}
IV. f(x)=x^{2} \ln (x)
V. f(x)=\cos ^{2}(x)-2 \operatorname{sen}(x), 0 \leq x \leq 2 \pi
VI. f(x)=\sqrt{x} e^{-x}
a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores máximo e mínimo local de f.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede, para cada função, que a) identifiquemos os intervalos de crescimento e decrescimento, b) localizemos e classifiquemos os extremos locais e c) determinemos os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Vamos usar derivadas de primeira ordem para (a) e (b) e derivadas de segunda ordem para (c).

Passo 2

Para f(x)=x^3-12x+1:
  1. Derivada primeira:
f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).
Zera em x=\pm2. O quadro de sinais dá:
f'>0 em (-\infty,-2) e em (2,\infty),
f'<0 em (-2,2).
Logo, f cresce em (-\infty,-2)\cup(2,\infty) e decresce em (-2,2). Em x=-2 há máximo local com f(-2)=17 e em x=2 mínimo local com f(2)=-15.
  1. Derivada segunda:
f''(x)=6x.
Zera em x=0. Como f''<0 para x<0 e f''>0 para x>0, f é côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\infty) e tem ponto de inflexão em (0,f(0) = 1).

Passo 3

Para f(x)=x^4-2x^2+3:
  1. Derivada primeira:
f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1),
raízes em -1,0,1. Sinal:
– cresce em (-\infty,-1), (0,1),
– decresce em (-1,0), (1,\infty).
Extremos locais em x=-1 (mínimo, f(-1)=2), em x=0 (máximo, f(0)=3) e em x=1 (mínimo, f(1)=2).
  1. Derivada segunda:
f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1),
zera em x=\pm\frac{1}{\sqrt3}. Como f''<0 para |x|<1/\sqrt3 e f''>0 para |x|>1/\sqrt3, concavidade para baixo em \bigl(-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}\bigr), para cima em (-\infty,-1/\sqrt3)\cup(1/\sqrt3,\infty) e pontos de inflexão em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt3},\,f(\pm\tfrac1{\sqrt3})\bigr).

Passo 4

Para f(x)=\frac{x^2}{x^2+3}:
  1. Derivada primeira:
f'(x) =\frac{2x(x^2+3)-x^2\cdot2x}{(x^2+3)^2} =\frac{6x}{(x^2+3)^2}.
Zera em x=0. Como f'<0 para x<0 e f'>0 para x>0, f decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\infty) e tem mínimo local em (0,0).
  1. Derivada segunda:
f''(x) =18\,\frac{1-x^2}{(x^2+3)^3}.
Zera em x=\pm1. Como f''>0 em (-1,1) e f''<0 em (-\infty,-1)\cup(1,\infty), concavidade para cima em (-1,1), para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty) e pontos de inflexão em (\pm1,f(\pm1)=\tfrac13).

Passo 5

Para f(x)=x^2\ln(x), x>0:
  1. Derivada primeira:
f'(x)=2x\ln(x)+x = x\bigl(2\ln(x)+1\bigr).
Zera em x=e^{-1/2}. Como f'<0 em (0,e^{-1/2}), f'>0 em (e^{-1/2},\infty), há mínimo local em \bigl(e^{-1/2},f(e^{-1/2})=-\tfrac1{2e}\bigr).
  1. Derivada segunda:
f''(x)=2\ln(x)+3,
zera em x=e^{-3/2}. Como f''<0 em (0,e^{-3/2}) e f''>0 em (e^{-3/2},\infty), f é côncava para baixo em (0,e^{-3/2}), côncava para cima em (e^{-3/2},\infty) e tem ponto de inflexão em \bigl(e^{-3/2},-\tfrac{3}{2e^3}\bigr).

Passo 6

Para f(x)=\cos^2(x)-2\operatorname{sen}(x), 0\le x\le2\pi:
  1. Derivada primeira:
f'(x)=-2\cos(x)\,\bigl(\operatorname{sen}(x)+1\bigr).
Zera em x=\tfrac\pi2 e x=\tfrac{3\pi}2. Analisando o sinal de f' em cada subintervalo de [0,2\pi] determina-se onde cresce e decresce e conclui-se que há extremos locais em x=\tfrac\pi2 e x=\tfrac{3\pi}2.
  1. Derivada segunda:
f''(x)=-2\cos(2x)+2\operatorname{sen}(x).
Igualando a zero obtém-se \operatorname{sen}(x)=\tfrac12 ou \operatorname{sen}(x)=-1, ou seja x=\tfrac\pi6,\;\tfrac{5\pi}6,\;\tfrac{3\pi}2. O sinal de f'' em cada intervalo dá os arcos de concavidade e os pontos de inflexão nesses três x.

Passo 7

Para f(x)=\sqrt{x}\,e^{-x}, x\ge0:
  1. Derivada primeira:
f'(x) =e^{-x}\frac{1-2x}{2\sqrt{x}}.
Zera em x=\tfrac12. Como f'>0 em (0,\tfrac12) e f'<0 em (\tfrac12,\infty), há máximo local em \bigl(\tfrac12,\tfrac{1}{\sqrt2}e^{-1/2}\bigr).
  1. Derivada segunda:
f''(x) =e^{-x}x^{-3/2}\,\frac{4x^2-4x-1}{4}.
Zera em x=\tfrac{1+\sqrt2}2. O sinal de 4x^2-4x-1 dá concavidade para baixo em \bigl(0,\tfrac{1+\sqrt2}2\bigr) e para cima em \bigl(\tfrac{1+\sqrt2}2,\infty\bigr), com ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{1+\sqrt2}2,\,f(\tfrac{1+\sqrt2}2)\bigr).

Resposta

I. a) cresce em (-\infty,-2)\cup(2,\infty), decresce em (-2,2).
b) máximo local em (-2,17), mínimo local em (2,-15).
c) côncava em baixo em (-\infty,0), em cima em (0,\infty); inflexão em (0,1).
II. a) cresce em (-\infty,-1)\cup(0,1), decresce em (-1,0)\cup(1,\infty).
b) mínimos em (-1,2) e (1,2), máximo em (0,3).
c) côncava para baixo em (-\tfrac1{\sqrt3},\tfrac1{\sqrt3}), para cima em (-\infty,-\tfrac1{\sqrt3})\cup(\tfrac1{\sqrt3},\infty); inflexões em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt3},\,\tfrac{7}{9}\bigr).
III. a) decresce em (-\infty,0), cresce em (0,\infty).
b) mínimo em (0,0).
c) côncava para cima em (-1,1), para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty); inflexões em \bigl(\pm1,\tfrac13\bigr).
IV. a) decresce em (0,e^{-1/2}), cresce em (e^{-1/2},\infty).
b) mínimo em \bigl(e^{-1/2},-\tfrac1{2e}\bigr).
c) côncava para baixo em (0,e^{-3/2}), para cima em (e^{-3/2},\infty); inflexão em \bigl(e^{-3/2},-\tfrac{3}{2e^3}\bigr).
V. a) cresce e decresce alternadamente com extremos em x=\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2.
b) máximo e mínimo nessas abscissas, respectivamente.
c) concavidade alternada com inflexões em x=\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6,\tfrac{3\pi}2.
VI. a) cresce em (0,\tfrac12), decresce em (\tfrac12,\infty).
b) máximo em \bigl(\tfrac12,\tfrac{1}{\sqrt2}e^{-1/2}\bigr).
c) côncava para baixo em \bigl(0,\tfrac{1+\sqrt2}2\bigr), para cima em \bigl(\tfrac{1+\sqrt2}2,\infty\bigr); inflexão em \bigl(\tfrac{1+\sqrt2}2,\,f(\tfrac{1+\sqrt2}2)\bigr).

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