Item (a) Calcule \int 4 x \ln (x) d x
Dica: use integração por partes com uma escolha adequada para u e d v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 4x\,\ln(x)\,dx
O conteúdo aplicado aqui é a técnica de integração por partes, indicada sempre que aparece o produto de duas funções (neste caso 4x e \ln(x)).

Passo 2

Escolhemos em integração por partes:
u = \ln(x) \quad\text{e}\quad dv = 4x\,dx.
A ideia é fazer u fácil de derivar (aqui \ln(x)) e dv fácil de integrar.

Passo 3

Vamos calcular du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int dv = \int 4x\,dx = 2x^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int 4x\,\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot 2x^2 \;-\;\int 2x^2\cdot\frac{1}{x}\,dx = 2x^2\ln(x) \;-\;\int 2x\,dx.

Passo 5

Agora basta calcular a integral restante:
\int 2x\,dx = x^2,
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\int 4x\,\ln(x)\,dx = 2x^2\ln(x) - x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

2x^2\ln(x) - x^2 + C

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