Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de f no intervalo dado.
f(t)=t \sqrt{4-t^{2}},[-2,2]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t) = t \sqrt{4 - t^{2}}
definida no intervalo [-2,2] e pede os extremos absolutos. Sabemos que, para uma função contínua em intervalo fechado, as extremidades podem ocorrer nos pontos críticos (onde f'(t)=0 ou f' não existe) ou nos extremos do domínio.

Passo 2

Vamos calcular f'(t) usando a regra do produto:
f(t) = t \cdot (4 - t^{2})^{1/2}.
Aplicando
f'(t) = 1\cdot(4 - t^{2})^{1/2} + t \cdot \frac{1}{2}(4 - t^{2})^{-1/2}\,(-2t),
logo
f'(t) = \sqrt{4 - t^{2}} - \frac{t^{2}}{\sqrt{4 - t^{2}}} = \frac{4 - 2t^{2}}{\sqrt{4 - t^{2}}}.

Passo 3

Para encontrar pontos críticos internos, resolvemos f'(t)=0. Como o denominador não é zero para -2<t<2, basta zerar o numerador:
4 - 2t^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm \sqrt{2}.
Não há outros pontos onde f' não exista, exceto nos extremos t=\pm2.

Passo 4

Agora avaliamos f nos candidatos t=-2,\,-\sqrt{2},\,\sqrt{2},\,2:
f(-2) = -2\sqrt{4-4} = 0, \qquad f(2) = 2\sqrt{4-4} = 0,
f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\,\sqrt{4-2} = \sqrt{2}\,\sqrt{2} = 2,
f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\,\sqrt{4-2} = -\sqrt{2}\,\sqrt{2} = -2.

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
f(-2)=0,\quad f(-\sqrt{2})=-2,\quad f(\sqrt{2})=2,\quad f(2)=0,
vemos que o valor máximo absoluto é 2 em t=\sqrt{2} e o mínimo absoluto é -2 em t=-\sqrt{2}.

Resposta

O máximo absoluto de f em [-2,2] é 2, atingido em t=\sqrt{2}, e o mínimo absoluto é -2, atingido em t=-\sqrt{2}.

Exercícios relacionados