Determine o(s) valor(es) de h de modo que as seguintes matrizes aumentadas descrevam sistemas lineares consistentes: \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & -2 \\\\ 3 & h & -6\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada com duas linhas e três colunas
Isto representa um sistema linear de duas equações e duas incógnitas (chame-as de x\) e \(y\)):
\[\begin{cases} 1\cdot x + 4\cdot y = -2,\\[4pt] 3\cdot x + h\cdot y = -6. \end{cases}
A pergunta é: determinar os valores de (h] para os quais esse sistema é consistente (ou seja, tem pelo menos uma solução).]
Passo 2
Explicação do critério que vou usar (aula rápida, sem pular etapas).
Para um sistema linear com duas incógnitas cujas equações formam uma matriz de coeficientes 2\times2
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
Se \det(A)\neq 0, então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (portanto é consistente).
Se \det(A)=0, então as equações são linearmente dependentes (ou seja, uma é múltiplo da outra) e pode acontecer:
ou o sistema tem infinitas soluções (as duas equações são a mesma, incluindo o termo independente);
ou o sistema é inconsistente (as equações têm o mesmo lado esquerdo proporcional, mas os termos independentes não são proporcionais).
Logo, o plano é: calcular o determinante dos coeficientes; se for não nulo, pronto (consistente). Se for zero, verificar se a segunda linha é múltipla da primeira também na coluna dos termos independentes.]
Passo 3
Formo a matriz de coeficientes (peguei os coeficientes das duas primeiras colunas da matriz aumentada):
A=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] 3 & h\end{pmatrix}.
Calculo o determinante usando a fórmula ad-bc:
\det(A)=1\cdot h - 4\cdot 3 = h-12.
Portanto:
Se h\neq 12, então \det(A)=h-12\neq 0. Conclusão: o sistema tem solução única e, portanto, é consistente para todo h\neq 12.]
Passo 4
Agora trato o caso crítico h=12 (quando \det(A)=0). Neste caso as equações podem ser múltiplas entre si; preciso ver se isso gera inconsistência ou infinitas soluções.
As linhas (incluindo o termo independente) da matriz aumentada são:
Verifico se a linha 2 é um múltiplo da linha 1. Calculo o fator supondo múltiplo pela primeira coordenada:
k=\frac{3}{1}=3.
Multiplico a linha 1 por k=3:
3\cdot(1,\,4,\, -2)=(3,\,12,\, -6),
que coincide exatamente com a linha 2 (peguei esses números da matriz aumentada). Como o mesmo fator k=3 transforma todas as entradas (coeficientes e termo independente), as duas equações são a mesma equação redundante. Portanto, quando h=12 o sistema tem infinitas soluções (não é inconsistente).
Passo 5
Juntando os casos:
Para h\neq 12: determinante diferente de zero → solução única → sistema consistente.
Para h=12: linhas proporcionais e termos independentes também proporcionais → infinitas soluções → sistema consistente.
Logo não existe valor de h que torne o sistema inconsistente. Todos os h reias tornam o sistema consistente.