O problema pede: para cada um dos três sistemas de quatro equações com quatro incógnitas, determinar se o sistema é consistente (ou seja, se possui solução). Os três sistemas dados são:
Informação relevante que já aparece nos sistemas: cada sistema contém equações que isolam direta ou semidireta algumas variáveis (por exemplo, em (a) as primeiras duas equações isolam x_1 e x_2 em função de outras variáveis). O objetivo é verificar existência de solução e, quando houver, encontrá-la (ou a parametrização das soluções).]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem jargões pesados): aqui é conveniente usar substituição/eliminações simples porque várias equações já deixam uma variável expressa em função de outras. A ideia básica é:
Se uma equação tem uma variável isolada (por exemplo \,x_1 = \cdots), uso essa expressão para substituir nas outras equações.
Se, ao substituir, aparecer uma equação impossível (como 0=1), o sistema é inconsistente.
Se aparecer uma identidade verdadeira (como 5=5) e ainda restarem variáveis livres, o sistema tem infinitas soluções; então eu escolho um parâmetro para as livres e escrevo a solução em função desse parâmetro.
Vou aplicar isso passo a passo em cada sistema, explicando cada conta.
Isso é legal porque a substituição fica direta: explicando a técnica — isolar uma variável significa escrever uma variável em função das demais; depois substitui-se essa expressão nas outras equações para reduzir o número de incógnitas.]
Passo 4
Agora substituo x_2 = 2 + x_4 na equação (3):
-3x_{2}+2x_{3}=0
-3(2 + x_4) + 2x_3 = 0.
Faço as contas passo a passo:
-6 -3x_4 + 2x_3 = 0.
Isolo os termos com x_3:
2x_3 - 3x_4 = 6.
Agora resolvo para x_3 (ou mantenho essa relação para usar depois). Dividindo por 2:
x_3 = 3 + \tfrac{3}{2}x_4.
Essa é a relação entre x_3 e x_4.
Passo 5
Substituo agora x_1 = -1 + 2x_3 na equação (4):
-4x_{1}+7x_{4}=-5
-4(-1 + 2x_3) + 7x_4 = -5.
Calculo passo a passo:
4 - 8x_3 + 7x_4 = -5.
Isolo os termos com x_3:
-8x_3 + 7x_4 = -9.
Agora substituo a expressão que achei para x_3, ou seja x_3 = 3 + \tfrac{3}{2}x_4:
Tudo coerente — encontramos uma solução única. Conclusão parcial: o sistema (a) é consistente e tem solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(-4,-1,-\tfrac{3}{2},-3\right).
Resultado: a equação (4) reduz-se à identidade verdadeira 5=5. Isso significa que (4) não impõe nenhuma restrição extra além das três primeiras equações — não há contradição. Portanto não há impossibilidade; em vez disso, sobra liberdade (variáveis livres).
Passo 13
A partir das equações usadas:
x_4 \text{ é livre (escolho } x_4 = t,\\ t\in\mathbb{R}),é
x_3 = 1 - 3x_4 = 1 - 3t,
x_2 = -x_3 = -1 + 3t,
x_1 = -3 + 2x_4 = -3 + 2t.
Portanto há infinitas soluções, parametrizadas por t. Isto significa que o sistema (c) é consistente e tem uma família infinita de soluções.
Resposta
(a) Consistente, solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(-4,-1,-\tfrac{3}{2},-3\right).
(b) Consistente, solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(3,-3,-\tfrac{1}{3},-2\right).
(c) Consistente, infinitas soluções; parametrização com t\in\mathbb{R}: