Estude se os seguintes sistemas são consistentes:
(a) \{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{3}=-1 \\\ x_{2}-x_{4}=2 \\\\ -3 x_{2}+2 x_{3}=0 \\\\ -4 x_{1}+7 x_{4}=-5\end{array}\right.
(b) \{\begin{array}{l}x_{1}+3 x_{3}=2 \\\ x_{2}-3 x_{4}=3 \\\\ -2 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=1 \\\\ 3 x_{1}+7 x_{4}=-5\end{array}\right.
(c) \{\begin{array}{l}x_{1}-2 x_{4}=-3 \\\\ 2 x_{2}+2 x_{3}=0 \\\ x_{3}+3 x_{4}=1 \\\\ -2 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=5\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede: para cada um dos três sistemas de quatro equações com quatro incógnitas, determinar se o sistema é consistente (ou seja, se possui solução). Os três sistemas dados são:
(a) \begin{cases} x_{1}-2x_{3}=-1\\[4pt] x_{2}-x_{4}=2\\[4pt] -3x_{2}+2x_{3}=0\\[4pt] -4x_{1}+7x_{4}=-5 \end{cases}
(b) \begin{cases} x_{1}+3x_{3}=2\\[4pt] x_{2}-3x_{4}=3\\[4pt] -2x_{2}+3x_{3}+2x_{4}=1\\[4pt] 3x_{1}+7x_{4}=-5 \end{cases}
(c) \begin{cases} x_{1}-2x_{4}=-3\\[4pt] 2x_{2}+2x_{3}=0\\[4pt] x_{3}+3x_{4}=1\\[4pt] -2x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=5 \end{cases}
Informação relevante que já aparece nos sistemas: cada sistema contém equações que isolam direta ou semidireta algumas variáveis (por exemplo, em (a) as primeiras duas equações isolam x_1 e x_2 em função de outras variáveis). O objetivo é verificar existência de solução e, quando houver, encontrá-la (ou a parametrização das soluções).]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem jargões pesados): aqui é conveniente usar substituição/eliminações simples porque várias equações já deixam uma variável expressa em função de outras. A ideia básica é:
  • Se uma equação tem uma variável isolada (por exemplo \,x_1 = \cdots), uso essa expressão para substituir nas outras equações.
  • Se, ao substituir, aparecer uma equação impossível (como 0=1), o sistema é inconsistente.
  • Se aparecer uma identidade verdadeira (como 5=5) e ainda restarem variáveis livres, o sistema tem infinitas soluções; então eu escolho um parâmetro para as livres e escrevo a solução em função desse parâmetro.
    Vou aplicar isso passo a passo em cada sistema, explicando cada conta.

Passo 3

As equações de (a) são, reescrevendo:
\begin{aligned} & (1)\quad x_{1}-2x_{3}=-1,\\[4pt] & (2)\quad x_{2}-x_{4}=2,\\[4pt] & (3)\quad -3x_{2}+2x_{3}=0,\\[4pt] & (4)\quad -4x_{1}+7x_{4}=-5. \end{aligned}
Da equação (1) posso isolar x_1:
x_1 = -1 + 2x_3.
Da equação (2) isolo x_2:
x_2 = 2 + x_4.
Isso é legal porque a substituição fica direta: explicando a técnica — isolar uma variável significa escrever uma variável em função das demais; depois substitui-se essa expressão nas outras equações para reduzir o número de incógnitas.]

Passo 4

Agora substituo x_2 = 2 + x_4 na equação (3):
-3x_{2}+2x_{3}=0
-3(2 + x_4) + 2x_3 = 0.
Faço as contas passo a passo:
-6 -3x_4 + 2x_3 = 0.
Isolo os termos com x_3:
2x_3 - 3x_4 = 6.
Agora resolvo para x_3 (ou mantenho essa relação para usar depois). Dividindo por 2:
x_3 = 3 + \tfrac{3}{2}x_4.
Essa é a relação entre x_3 e x_4.

Passo 5

Substituo agora x_1 = -1 + 2x_3 na equação (4):
-4x_{1}+7x_{4}=-5
-4(-1 + 2x_3) + 7x_4 = -5.
Calculo passo a passo:
4 - 8x_3 + 7x_4 = -5.
Isolo os termos com x_3:
-8x_3 + 7x_4 = -9.
Agora substituo a expressão que achei para x_3, ou seja x_3 = 3 + \tfrac{3}{2}x_4:
-8\left(3 + \tfrac{3}{2}x_4\right) + 7x_4 = -9.
Calculo:
-24 -12x_4 +7x_4 = -9.
-24 -5x_4 = -9.
Isolo x_4:
-5x_4 = 15 \quad\Rightarrow\quad x_4 = -3.

Passo 6

Com x_4 = -3 volto às expressões anteriores:
x_3 = 3 + \tfrac{3}{2}x_4 = 3 + \tfrac{3}{2}(-3) = 3 - \tfrac{9}{2} = -\tfrac{3}{2}.
x_2 = 2 + x_4 = 2 + (-3) = -1.
x_1 = -1 + 2x_3 = -1 + 2\left(-\tfrac{3}{2}\right) = -1 -3 = -4.
Tudo coerente — encontramos uma solução única. Conclusão parcial: o sistema (a) é consistente e tem solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(-4,-1,-\tfrac{3}{2},-3\right).

Passo 7

Reescrevo o sistema (b):
\begin{aligned} & (1)\quad x_{1}+3x_{3}=2,\\[4pt] & (2)\quad x_{2}-3x_{4}=3,\\[4pt] & (3)\quad -2x_{2}+3x_{3}+2x_{4}=1,\\[4pt] & (4)\quad 3x_{1}+7x_{4}=-5. \end{aligned}
Das equações (1) e (2) isolo:
x_1 = 2 - 3x_3,\qquad x_2 = 3 + 3x_4.
Vou substituir essas expressões nas equações (3) e (4) para determinar x_3 e x_4.]

Passo 8

Substituo x_2 = 3 + 3x_4 em (3):
-2(3 + 3x_4) + 3x_3 + 2x_4 = 1.
Calculo:
-6 -6x_4 + 3x_3 + 2x_4 = 1,
3x_3 -4x_4 -6 = 1,
3x_3 -4x_4 = 7.
Dessa relação podemos escrever
x_3 = \tfrac{7 + 4x_4}{3}.

Passo 9

Agora substituo x_1 = 2 - 3x_3 em (4):
3(2 - 3x_3) + 7x_4 = -5.
Calculo:
6 -9x_3 +7x_4 = -5,
-9x_3 +7x_4 = -11.
Substituo x_3 = \tfrac{7 + 4x_4}{3}:
-9\cdot \tfrac{7 + 4x_4}{3} + 7x_4 = -11.
Simplifico:
-3(7 + 4x_4) + 7x_4 = -11,
-21 -12x_4 +7x_4 = -11,
-21 -5x_4 = -11,
-5x_4 = 10 \quad\Rightarrow\quad x_4 = -2.

Passo 10

Com x_4=-2 volto às expressões:
x_3 = \tfrac{7 + 4x_4}{3} = \tfrac{7 + 4(-2)}{3} = \tfrac{7 -8}{3} = -\tfrac{1}{3}.
x_2 = 3 + 3x_4 = 3 + 3(-2) = 3 -6 = -3.
x_1 = 2 -3x_3 = 2 -3\left(-\tfrac{1}{3}\right) = 2 +1 = 3.
Tudo consistente e sem contradição: o sistema (b) tem solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3,-3,-\tfrac{1}{3},-2).

Passo 11

Reescrevo o sistema (c):
\begin{aligned} & (1)\quad x_{1}-2x_{4}=-3,\\[4pt] & (2)\quad 2x_{2}+2x_{3}=0,\\[4pt] & (3)\quad x_{3}+3x_{4}=1,\\[4pt] & (4)\quad -2x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=5. \end{aligned}
Das primeiras três equações isolo variáveis de forma direta:
x_1 = -3 + 2x_4 \quad\text{(da (1)),}
2x_2 + 2x_3 = 0 \\ \Rightarrow\\ x_2 = -x_3 \quad\text{(da (2)),}
x_3 = 1 - 3x_4 \quad\text{(da (3)).}
Agora uso essas expressões na equação (4).]

Passo 12

Substituo x_1, x_2, x_3 em (4):
-2x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=5.
Com as expressões:
x_1 = -3 + 2x_4,\quad x_2 = -x_3,\quad x_3 = 1 - 3x_4.
Faço a substituição passo a passo:
-2(-3 + 2x_4) + 3(-x_3) + 2x_3 + x_4 = 5.
Calculo os termos:
6 -4x_4 -3x_3 + 2x_3 + x_4 = 5.
Combine x_3 e x_4 separadamente:
6 + (-3x_3 +2x_3) + (-4x_4 + x_4) = 5,
6 - x_3 -3x_4 = 5.
Agora substituo x_3 = 1 - 3x_4:
6 - (1 - 3x_4) - 3x_4 = 5.
6 -1 +3x_4 -3x_4 = 5.
5 = 5.
Resultado: a equação (4) reduz-se à identidade verdadeira 5=5. Isso significa que (4) não impõe nenhuma restrição extra além das três primeiras equações — não há contradição. Portanto não há impossibilidade; em vez disso, sobra liberdade (variáveis livres).

Passo 13

A partir das equações usadas:
x_4 \text{ é livre (escolho } x_4 = t,\\ t\in\mathbb{R}),é
x_3 = 1 - 3x_4 = 1 - 3t,
x_2 = -x_3 = -1 + 3t,
x_1 = -3 + 2x_4 = -3 + 2t.
Portanto há infinitas soluções, parametrizadas por t. Isto significa que o sistema (c) é consistente e tem uma família infinita de soluções.

Resposta

(a) Consistente, solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(-4,-1,-\tfrac{3}{2},-3\right).
(b) Consistente, solução única \,(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(3,-3,-\tfrac{1}{3},-2\right).
(c) Consistente, infinitas soluções; parametrização com t\in\mathbb{R}:
x_4 = t,\qquad x_3 = 1 - 3t,\qquad x_2 = -1 + 3t,\qquad x_1 = -3 + 2t.

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