O enunciado pede para resolver três sistemas lineares independentes (a), (b) e (c). Vou listar cada sistema exatamente como veio e indicar quais são as incógnitas (peguei os sistemas do enunciado).
O que é pedido em cada um é encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaçam todas as equações do respectivo sistema.]
Passo 2
Vou resolver o sistema (a). Primeiro passo prático: escrever a matriz aumentada do sistema (é uma forma compacta de representar as equações; cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o vetor dos termos independentes):
Explicação rápida sobre operações elementares (útil na prova): pode-se somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, ou multiplicar uma linha por uma constante não nula. O objetivo típico é chegar numa forma triangular (escalonada) para depois fazer substituição regressiva.]
Passo 3
Eliminar a primeira coluna abaixo do pivô (usar a primeira linha como pivô):
Agora queremos eliminar a segunda coluna na terceira linha usando a segunda linha. Uma operação conveniente é R_{3}\leftarrow R_{3}+3R_{2} porque 3R_{2}=[0,9,-15\;|\;12].
Interpretação do resultado obtido: a terceira linha [0\\\ 0\\\ 0\;|\;5] representa a equação 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=5, ou seja 0=5, que é impossível. Isso indica que o sistema é inconsistente — não existe nenhum tripla (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações. Conclusão para (a): não há solução.
Passo 6
Agora o sistema (b). Escrevo a matriz aumentada. Da forma dada, a primeira equação não tem x_{1}\) — tudo bem, é permitido. Vou reorganizar as linhas para ter um pivô em \(x_{1}\) na primeira linha (troca de linhas é uma operação elementar):
Sistema (b) original:
\[\begin{cases} x_{2}+4x_{3}=-5\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=-2\\[4pt] 3x_{1}+7x_{2}+7x_{3}=6 \end{cases}
Novamente aparece uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\;|\;2], que corresponde a 0=2 — contraditória. Logo o sistema (b) também é inconsistente e não possui solução.
Passo 10
Agora o sistema (c). Vou escolher um método mais direto: substituição. Motivo: a primeira equação expressa x_{1} em função de x_{3} e a terceira expressa x_{2} em função de x_{3}; assim basta substituir essas expressões na segunda equação e resolver para x_{3}. Sistema (c) reescrito: