Resolva os seguintes sistemas lineares:
(a) \{\begin{array}{l}x_{1}-5 x_{2}+4 x_{3}=-3 \\\\ 2 x_{1}-7 x_{2}+3 x_{3}=-2 \\\\ -2 x_{1}+x_{2}+7 x_{3}=-1\end{array}\right.
(b) \{\begin{array}{l}x_{2}+4 x_{3}=-5 \\\ x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=-2 \\\\ 3 x_{1}+7 x_{2}+7 x_{3}=6\end{array}\right.
(c) \{\begin{array}{l}x_{1}-3 x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}+9 x_{3}=7 \\\ x_{2}+5 x_{3}=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver três sistemas lineares independentes (a), (b) e (c). Vou listar cada sistema exatamente como veio e indicar quais são as incógnitas (peguei os sistemas do enunciado).
Sistema (a):
\begin{cases} x_{1}-5x_{2}+4x_{3}=-3\\[4pt] 2x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=-2\\[4pt] -2x_{1}+x_{2}+7x_{3}=-1 \end{cases}
Sistema (b):
\begin{cases} x_{2}+4x_{3}=-5\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=-2\\[4pt] 3x_{1}+7x_{2}+7x_{3}=6 \end{cases}
Sistema (c):
\begin{cases} x_{1}-3x_{3}=8\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}+9x_{3}=7\\[4pt] x_{2}+5x_{3}=-2 \end{cases}
O que é pedido em cada um é encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaçam todas as equações do respectivo sistema.]

Passo 2

Vou resolver o sistema (a). Primeiro passo prático: escrever a matriz aumentada do sistema (é uma forma compacta de representar as equações; cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o vetor dos termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 4 & -3\\[4pt] 2 & -7 & 3 & -2\\[4pt] -2 & 1 & 7 & -1 \end{array}\right]
Explicação rápida sobre operações elementares (útil na prova): pode-se somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, ou multiplicar uma linha por uma constante não nula. O objetivo típico é chegar numa forma triangular (escalonada) para depois fazer substituição regressiva.]

Passo 3

Eliminar a primeira coluna abaixo do pivô (usar a primeira linha como pivô):
  • Fazer R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1}.
  • Fazer R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1}.
Calculemos cada operação:
R_{2}-2R_{1}=[2,-7,3\;|\;-2]-2[1,-5,4\;|\;-3]=[0,3,-5\;|\;4].
R_{3}+2R_{1}=[-2,1,7\;|\;-1]+2[1,-5,4\;|\;-3]=[0,-9,15\;|\;-7].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 4 & -3\\[4pt] 0 & 3 & -5 & 4\\[4pt] 0 & -9 & 15 & -7 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos eliminar a segunda coluna na terceira linha usando a segunda linha. Uma operação conveniente é R_{3}\leftarrow R_{3}+3R_{2} porque 3R_{2}=[0,9,-15\;|\;12].
R_{3}+3R_{2}=[0,-9,15\;|\;-7]+[0,9,-15\;|\;12]=[0,0,0\;|\;5].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -5 & 4 & -3\\[4pt] 0 & 3 & -5 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação do resultado obtido: a terceira linha [0\\\ 0\\\ 0\;|\;5] representa a equação 0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=5, ou seja 0=5, que é impossível. Isso indica que o sistema é inconsistente — não existe nenhum tripla (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações. Conclusão para (a): não há solução.

Passo 6

Agora o sistema (b). Escrevo a matriz aumentada. Da forma dada, a primeira equação não tem x_{1}\) — tudo bem, é permitido. Vou reorganizar as linhas para ter um pivô em \(x_{1}\) na primeira linha (troca de linhas é uma operação elementar): Sistema (b) original: \[\begin{cases} x_{2}+4x_{3}=-5\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+5x_{3}=-2\\[4pt] 3x_{1}+7x_{2}+7x_{3}=6 \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 4 & -5\\[4pt] 1 & 3 & 5 & -2\\[4pt] 3 & 7 & 7 & 6 \end{array}\right]
Troco R_{1}\] com \(R_{2} para ter um pivô 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -5\\[4pt] 3 & 7 & 7 & 6 \end{array}\right].]

Passo 7

Eliminar x_{1} da terceira linha usando R_{3}\leftarrow R_{3}-3R_{1}:
R_{3}-3R_{1}=[3,7,7\;|\;6]-3[1,3,5\;|\;-2]=[0,-2,-8\;|\;12].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -5\\[4pt] 0 & -2 & -8 & 12 \end{array}\right].]

Passo 8

Eliminar x_{2} da terceira linha usando a segunda linha: R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2} (porque 2R_{2}=[0,2,8\;|\;-10]):
R_{3}+2R_{2}=[0,-2,-8\;|\;12]+[0,2,8\;|\;-10]=[0,0,0\;|\;2].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 5 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right].]

Passo 9

Novamente aparece uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\;|\;2], que corresponde a 0=2 — contraditória. Logo o sistema (b) também é inconsistente e não possui solução.

Passo 10

Agora o sistema (c). Vou escolher um método mais direto: substituição. Motivo: a primeira equação expressa x_{1} em função de x_{3} e a terceira expressa x_{2} em função de x_{3}; assim basta substituir essas expressões na segunda equação e resolver para x_{3}. Sistema (c) reescrito:
\begin{cases} x_{1}-3x_{3}=8\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}+9x_{3}=7\\[4pt] x_{2}+5x_{3}=-2 \end{cases}]

Passo 11

Isolar x_{1} e x_{2} das equações (1) e (3):
Da equação (1):
x_{1}=8+3x_{3}.
Da equação (3):
x_{2}=-2-5x_{3}.
Agora substituir essas expressões na segunda equação:
2x_{1}+2x_{2}+9x_{3}=7.
Substituindo,
2(8+3x_{3})+2(-2-5x_{3})+9x_{3}=7.

Passo 12

Resolver a equação em x_{3} passo a passo:
Calcule os termos:
2(8+3x_{3})=16+6x_{3}, \qquad 2(-2-5x_{3})=-4-10x_{3}.
Somando tudo:
(16+6x_{3})+(-4-10x_{3})+9x_{3}=7.
Agrupando constantes e coeficientes de x_{3}:
16-4 + (6-10+9)x_{3}=7
12 + 5x_{3}=7.
Logo
5x_{3}=7-12=-5 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=-1.

Passo 13

Com x_{3}=-1, voltar e calcular x_{1} e x_{2}:
x_{1}=8+3x_{3}=8+3(-1)=8-3=5.
x_{2}=-2-5x_{3}=-2-5(-1)=-2+5=3.
Verificação rápida (opcional na prova): substituir (x_{1},x_{2},x_{3})=(5,3,-1) nas três equações:
  • Eq (1): 5-3(-1)=5+3=8 OK.
  • Eq (2): 2\cdot5+2\cdot3+9(-1)=10+6-9=7 OK.
  • Eq (3): 3+5(-1)=3-5=-2 OK.
Portanto solução do sistema (c) é (5,3,-1).

Resposta

(a) \text{não tem solução}ãçã
(b) \text{não tem solução}ãçã
(c) (x_{1},x_{2},x_{3})=(5,3,-1)

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