Esboce o gráfico correspondente a cada uma das funçōes abaixo.
y=2 x^{2}-5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática
y = 2x^{2} - 5x + 2.
O conteúdo é “função polinomial de 2º grau”: para esboçar a parábola, vamos precisar determinar sua concavidade, os zeros (raízes), o vértice, o intercepto em y e o eixo de simetria.

Passo 2

Determinar a concavidade e os coeficientes.
Na forma geral y = ax^{2} + bx + c, aqui temos
a = 2,\quad b = -5,\quad c = 2.
Como a=2>0, a parábola é côncava para cima.

Passo 3

Calcular as raízes resolvendo 2x^{2} -5x + 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4\cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9.
As raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{4},
logo
x_{1} = \frac{5+3}{4} = 2,\quad x_{2} = \frac{5-3}{4} = \tfrac12.

Passo 4

Calcular o vértice.
A abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a} = \frac{5}{4} = 1{,}25.
A ordenada correspondente é
y_{v} = 2\,(1{,}25)^{2} - 5\,(1{,}25) + 2 = 2\cdot1{,}5625 - 6{,}25 + 2 = 3{,}125 - 6{,}25 + 2 = -1{,}125.
Portanto o vértice é \bigl(1{,}25,\,-1{,}125\bigr).

Passo 5

Encontrar o intercepto em y, calculando f(0):
y(0) = 2\cdot0^{2} - 5\cdot0 + 2 = 2.
Logo a parábola passa por (0,2).

Passo 6

Resumo dos pontos principais e esboço:
  • Concavidade para cima a>0.
  • Raízes em \bigl(\tfrac12,0\bigr) e (2,0).
  • Vértice em \bigl(1{,}25,\,-1{,}125\bigr).
  • Intercepto em y no ponto (0,2).
  • Eixo de simetria é a reta x = 1{,}25.
Para esboçar: desenhe esses pontos no plano, trace o eixo de simetria vertical passando por x=1{,}25, e ligue-os suavemente em forma de “U” (parábola côncava para cima).

Resposta

O gráfico é uma parábola côncava para cima com:
  • raízes em \bigl(\tfrac12,0\bigr) e (2,0),
  • vértice em \bigl(1{,}25,\,-1{,}125\bigr),
  • intercepto em y em (0,2),
  • eixo de simetria x=1{,}25.

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