Determine um valor plausível de x0 para o qual o gráfico da solução do problema de valor inicial y^prime+2 y=3 x-6, y(x0)=0 seja tangente ao eixo x em (x0, 0). Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + 2y = 3x - 6, y(x0) = 0
e pede um valor plausível de x0 para que o gráfico da solução seja tangente ao eixo x em l(x0,0r). Vamos usar o fato de que “ser tangente ao eixo x” significa que, além de y(x0)=0, a derivada ali deve ser zero: y'(x0)=0.

Passo 2

Da equação diferencial podemos isolar a derivada:
y' = 3x - 6 ;-; 2y
Em particular, no ponto x = x0 em que y(x0)=0, isso vira
y'(x0) = 3x0 - 6 ;-; 2cdot 0 = 3x0 - 6

Passo 3

Para que haja tangência ao eixo x em (x0,0) precisamos de
y(x0) = 0 e y'(x0) = 0
Substituindo em y'(x0)=3x0-6, impomos
3x0 - 6 = 0 ;;Longrightarrow;; x0 = 2

Resposta

O valor plausível de x0 é 2.

Exercícios relacionados