(UF-GO) Determine o valor de
, para que o polinômio
seja divisível por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio $ p(x) = k x^{3} + (k+1) x^{2} + 2 k x + 6 $ e precisa encontrar o valor de $ k $ que faz esse polinômio ser divisível por $ x^{2} + 2 $. Isso está dentro do conteúdo de álgebra, mais especificamente em divisibilidade de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a divisão de polinômios e o que significa um polinômio ser divisível por outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um polinômio $ p(x) $ é divisível por outro polinômio $ d(x) $, isso significa que não sobra resto na divisão. Ou seja, podemos escrever $ p(x) = d(x) \cdot q(x) $, onde $ q(x) $ é o quociente.
No nosso caso, $ d(x) = x^{2} + 2 $, que é um polinômio de segundo grau. Como $ p(x) $ é de terceiro grau, o quociente $ q(x) $ será de primeiro grau, ou seja, $ q(x) = c x + d $, onde $ c $ e $ d $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos multiplicar $ d(x) $ por $ q(x) $ e igualar ao polinômio $ p(x) $:
Agora, igualamos esse resultado ao polinômio dado:
Passo 4
Para que as duas expressões sejam iguais para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos as seguintes equações:
- Coeficiente de $ x^{3} $: $ k = c $
- Coeficiente de $ x^{2} $: $ k + 1 = d $
- Coeficiente de $ x $: $ 2k = 2c $
- Termo constante: $ 6 = 2d $
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo:
- Da equação 3: $ 2k = 2c $ ⇒ $ k = c $ (mesma que a equação 1)
- Da equação 4: $ 6 = 2d $ ⇒ $ d = 3 $
- Da equação 2: $ k + 1 = d $ ⇒ $ k + 1 = 3 $ ⇒ $ k = 2 $
Resposta
O valor de $ k $ que satisfaz a condição é $ k = 2 $.