(UF-GO) Determine o valor de k in R, para que o polinômio p(x)=k x^3+(k+1) x^2+2 k x+6 seja divisível por x^2+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio $ p(x) = k x^{3} + (k+1) x^{2} + 2 k x + 6 $ e precisa encontrar o valor de $ k $ que faz esse polinômio ser divisível por $ x^{2} + 2 $. Isso está dentro do conteúdo de álgebra, mais especificamente em divisibilidade de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a divisão de polinômios e o que significa um polinômio ser divisível por outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um polinômio $ p(x) $ é divisível por outro polinômio $ d(x) $, isso significa que não sobra resto na divisão. Ou seja, podemos escrever $ p(x) = d(x) \cdot q(x) $, onde $ q(x) $ é o quociente.
No nosso caso, $ d(x) = x^{2} + 2 $, que é um polinômio de segundo grau. Como $ p(x) $ é de terceiro grau, o quociente $ q(x) $ será de primeiro grau, ou seja, $ q(x) = c x + d $, onde $ c $ e $ d $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos multiplicar $ d(x) $ por $ q(x) $ e igualar ao polinômio $ p(x) $:
d(x)
Agora, igualamos esse resultado ao polinômio dado:
q(x)

Passo 4

Para que as duas expressões sejam iguais para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos as seguintes equações:
  1. Coeficiente de $ x^{3} $: $ k = c $
  2. Coeficiente de $ x^{2} $: $ k + 1 = d $
  3. Coeficiente de $ x $: $ 2k = 2c $
  4. Termo constante: $ 6 = 2d $

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo:
  • Da equação 3: $ 2k = 2c $ ⇒ $ k = c $ (mesma que a equação 1)
  • Da equação 4: $ 6 = 2d $ ⇒ $ d = 3 $
  • Da equação 2: $ k + 1 = d $ ⇒ $ k + 1 = 3 $ ⇒ $ k = 2 $

Resposta

O valor de $ k $ que satisfaz a condição é $ k = 2 $.

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