Determine os valores das constantes reais a e b de modo que x^4-6 x^3+17 x^2+a x+b seja divisível por (x-2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores reais de a e b tais que o polinômio
P(x)=x^4-6x^3+17x^2+a x+b
seja divisível por (x-2)^2. Isso significa que x=2 é raiz dupla de P, ou seja, precisamos usar o Teorema do Resto e a condição de multiplicidade de raiz.

Passo 2

Para ter x=2 como raiz simples, devemos ter o resto em x=2 igual a zero. Ou seja, segundo o Teorema do Resto: P(2)=0. Calculando:

Passo 3

P(2)=2^4-6cdot2^3+17cdot2^2+acdot2+b=16-48+68+2a+b=36+2a+b
Logo,

Passo 4

36+2a+b=0

Passo 5

Para que x=2 seja raiz dupla, a derivada também se anula em x=2. Primeiro encontramos P'(x):

Passo 6

P'(x)=4x^3-18x^2+34x+a
Impondo P'(2)=0,

Passo 7

P'(2)=4cdot2^3-18cdot2^2+34cdot2+a=32-72+68+a=28+a
Logo,

Passo 8

28+a=0Longrightarrow a=-28

Passo 9

Com a=-28 em 36+2a+b=0, temos:

Passo 10

36+2(-28)+b=36-56+b=b-20=0
Portanto,

Passo 11

b=20

Resposta

a = -28 e b = 20

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