Determine os valores de m e n a fim de que o polinômio x^3-x^2+m x+n seja divisível por (x-2)^2.

Passo 1

O problema pede para determinar os valores de m e n de modo que o polinômio p(x)=x^3 - x^2 + m x + n seja divisível por (x-2)^2. Isso significa que x=2 é uma raiz de multiplicidade 2, logo precisamos de p(2)=0 e p'(2)=0.

Passo 2

Vamos aplicar a condição p(2)=0. Calculamos:
p(2)=2^3 - 2^2 + mcdot2 + n = 8 - 4 + 2m + n = 4 + 2m + n
Impondo p(2)=0 temos:
4 + 2m + n = 0
Logo:
n = -4 - 2m

Passo 3

Agora aplicamos a condição p'(2)=0. Primeiro derivamos p(x):
p'(x)=3x^2 - 2x + m

Passo 4

Então:
p'(2)=3cdot2^2 - 2cdot2 + m = 12 - 4 + m = 8 + m
Impondo p'(2)=0:
8 + m = 0
Logo:
m = -8

Passo 5

Por fim, substituímos m=-8 na expressão de n:
n = -4 - 2(-8) = -4 + 16 = 12

Resposta

m = -8 e n = 12

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