(UF-PE) Um polinômio
, com coeficientes reais, é tal que
e
. Calcule
, se
é o resto da divisão de
por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um polinômio $ P(x) $ com coeficientes reais que satisfaz $ P(1) = 1 $ e $ P(2) = -1 $. A gente precisa encontrar $ R\left(-\frac{11}{2}\right) $, onde $ R(x) $ é o resto da divisão de $ P(x) $ por $ x^2 - 3x + 2 $. Para resolver isso, vamos usar a divisão de polinômios e o teorema do resto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando dividimos um polinômio $ P(x) $ por outro polinômio $ D(x) $, podemos escrever:
onde $ Q(x) $ é o quociente e $ R(x) $ é o resto. Como $ D(x) = x^2 - 3x + 2 $ é de grau 2, o resto $ R(x) $ terá grau menor que 2. Então, podemos escrever:
onde $ a $ e $ b $ são constantes que vamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que $ P(1) = 1 $ e $ P(2) = -1 $. Vamos substituir esses valores na equação acima. Quando $ x = 1 $:
Mas $ 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 $, então:
Da mesma forma, para $ x = 2 $:
E $ 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 0 $, então:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações para descobrir $ a $ e $ b $:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora substituímos $ a = -2 $ na primeira equação:
Passo 5
Então, o resto da divisão é:
Agora, basta substituir $ x = -\frac{11}{2} $ para encontrar $ R\left(-\frac{11}{2}\right) $:
Resposta
O valor de $ R\left(-\frac{11}{2}\right) $ é 14.