(UF-PE) Um polinômio P(x), com coeficientes reais, é tal que P(1)=1 e P(2)=-1. Calcule R(-112), se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x^2-3 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um polinômio $ P(x) $ com coeficientes reais que satisfaz $ P(1) = 1 $ e $ P(2) = -1 $. A gente precisa encontrar $ R\left(-\frac{11}{2}\right) $, onde $ R(x) $ é o resto da divisão de $ P(x) $ por $ x^2 - 3x + 2 $. Para resolver isso, vamos usar a divisão de polinômios e o teorema do resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando dividimos um polinômio $ P(x) $ por outro polinômio $ D(x) $, podemos escrever:
P(x)
onde $ Q(x) $ é o quociente e $ R(x) $ é o resto. Como $ D(x) = x^2 - 3x + 2 $ é de grau 2, o resto $ R(x) $ terá grau menor que 2. Então, podemos escrever:
D(x)
onde $ a $ e $ b $ são constantes que vamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que $ P(1) = 1 $ e $ P(2) = -1 $. Vamos substituir esses valores na equação acima. Quando $ x = 1 $:
P(1) = 1
Mas $ 1^2 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 $, então:
P(2) = -1
Da mesma forma, para $ x = 2 $:
x = 1
E $ 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 0 $, então:
P(1) = Q(1) cdot (1^2 - 3 cdot 1 + 2) + R(1)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações para descobrir $ a $ e $ b $:
a
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
b
Agora substituímos $ a = -2 $ na primeira equação:
a + b = 1 2a + b = -1

Passo 5

Então, o resto da divisão é:
R(x) = -2x + 3
Agora, basta substituir $ x = -\frac{11}{2} $ para encontrar $ R\left(-\frac{11}{2}\right) $:
x = -112

Resposta

O valor de $ R\left(-\frac{11}{2}\right) $ é 14.

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