Determine o valor de m para que o ponto (m, 4) pertença à parábola que passa pelos pontos A(0,0), B(6,6) e C(-10,10), e cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo O x.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a gente precisa aqui. A questão pede para encontrar o valor de para que o ponto esteja numa parábola que passa pelos pontos , e . Além disso, o eixo de simetria dessa parábola é paralelo ao eixo .
Conteúdo da matéria: Equação da parábola com eixo de simetria horizontal.
O que vamos precisar:
  • Saber como montar a equação da parábola com eixo horizontal.
  • Substituir pontos na equação para achar os coeficientes.
  • Resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo x = a(y - k)^2 + h tem a equação geral:
Aqui:
  • é o vértice da parábola.
  • determina a abertura e a direção da parábola.

Passo 3

Agora, vamos usar os três pontos que a parábola passa para montar um sistema de equações. Vamos substituir cada ponto na equação geral.
Para o ponto 0 = a(0 - k)^2 + h Rightarrow h = -a k^2 (1) :
6 = a(6 - k)^2 + h
Para o ponto -10 = a(10 - k)^2 + h :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, vamos substituir a equação (1) nas outras duas equações para eliminar 6 = a(6 - k)^2 - a k^2 .
Substituindo em 6 = a[(6 - k)^2 - k^2] :
Explicando isso: estamos substituindo por .

Passo 5

Vamos expandir (6 - k)^2 = 36 - 12k + k^2 :
6 = a[36 - 12k + k^2 - k^2] = a(36 - 12k)
Então:
6 = a cdot 36 - a cdot 12k
6 = 36a - 12a k (2)

Passo 6

Agora, fazemos o mesmo para o ponto -10 = a(10 - k)^2 - a k^2 .
Substituindo em -10 = a[(10 - k)^2 - k^2] :

Passo 7

Expandindo (10 - k)^2 = 100 - 20k + k^2 :
-10 = a[100 - 20k + k^2 - k^2] = a(100 - 20k)
Então:
-10 = 100a - 20a k (3)

Passo 8

Agora temos um sistema com as equações (2) e (3):
6 = 36a - 12a k -10 = 100a - 20a k
Vamos simplificar dividindo a primeira equação por 6 e a segunda por 10:
1 = 6a - 2a k (4) -1 = 10a - 2a k (5)

Passo 9

Agora, subtraímos a equação (5) da equação (4) para eliminar 1 - (-1) = (6a - 10a) - (2a k - 2a k) :
2 = -4a
a = -12

Passo 10

Com o valor de 1 = 6(-12) - 2(-12) k , podemos substituir na equação (4) para achar 1 = -3 + k :
k = 4

Passo 11

Agora que temos h = -a k^2 = -(-12) (4)^2 = 12 times 16 = 8 e , podemos encontrar usando a equação (1):

Passo 12

Então, a equação da parábola é:
x = -12(y - 4)^2 + 8

Passo 13

Agora, queremos que o ponto m = -12(4 - 4)^2 + 8 esteja nessa parábola. Vamos substituir m = -12(0)^2 + 8 na equação:
m = 0 + 8
m = 8

Resposta

O valor de é .

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