Sabendo que F=(-1, m) é o foco da parábola dada pela equação x^2+2 x-4 y+1=0, determine o valor de m.
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A gente tem uma parábola com a equação x^2 + 2x -4y +1=0 e sabe que o foco dessa parábola é F = (-1, m). Nosso objetivo é descobrir qual é o valor de m.
Matéria envolvida: Equações de parábolas e suas propriedades, especificamente a fórmula padrão da parábola e como identificar o foco a partir dela.
O que precisamos: Reescrever a equação da parábola na forma padrão para identificar os parâmetros importantes, como o foco, e assim encontrar o valor de m.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da parábola para facilitar a identificação dos parâmetros. A equação dada é:
x^2 + 2x - 4y + 1 = 0
Vamos isolar o termo em y:
x^2 + 2x + 1 = 4y
Viu? Ficou mais fácil agora.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte em x. Olha só:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Então, nossa equação fica:
(x + 1)^2 = 4y
Essa é a forma padrão da equação da parábola.

Passo 4

A forma padrão da parábola é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Onde (h, k) é o vértice e p determina a distância do vértice ao foco.
Comparando com a nossa equação (x + 1)^2 = 4y, percebemos que:
  • h = -1
  • k = 0
  • 4p = 4 então p = 1

Passo 5

Sabendo que o foco da parábola nessa forma está em (h, k + p), substituímos os valores encontrados:
Foco = (-1, 0 + 1) = (-1, 1)
Mas o enunciado nos dá que o foco é F = (-1, m). Então:
(-1, 1) = (-1, m)
Logo, m = 1.

Resposta

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