Uma chapa plana de metal
, está situada no plano-
de modo que a temperatura
no ponto
é dada por
.
© Descreva as isotérmicas, isto é, as curvas de nível de
que representam pontos onde a temperatura é constante.
© Descreva as isotérmicas, isto é, as curvas de nível de
Passo 1
Então, a gente tem uma chapa plana de metal definida pela região $ D = {(x, y) : 9 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25} $. A temperatura nessa chapa, em qualquer ponto $ (x, y) $, é dada por $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Nosso objetivo aqui é descrever as isotérmicas, que são as curvas onde a temperatura é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função de temperatura dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como a temperatura $ T(x, y) $, é o conjunto de pontos $ (x, y) $ onde a função assume um valor constante. No nosso caso, essas curvas representarão todas as posições na chapa onde a temperatura é igual a um valor fixo $ k $.
Passo 3
Agora, vamos definir matematicamente as isotérmicas. Queremos encontrar todas as curvas onde $ T(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo a expressão da temperatura, temos:
Essa é a equação geral das isotérmicas.
Passo 4
A equação $ x^{2} + y^{2} = k $ representa uma circunferência no plano $ xy $ com raio $ \sqrt{k} $. Portanto, cada isotérmica é uma circunferência centrada na origem, e o valor de $ k $ determina o tamanho do raio.
Passo 5
Como a região $ D $ está limitada por $ 9 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25 $, os valores de $ k $ devem satisfazer $ 9 \leq k \leq 25 $. Isso significa que as isotérmicas vão variar desde círculos com raio $ 3 $ (pois $ \sqrt{9} = 3 $) até círculos com raio $ 5 $ (pois $ \sqrt{25} = 5 $).
Resposta
As isotérmicas são circunferências centradas na origem com equação $ x^{2} + y^{2} = k $, onde $ k $ varia entre 9 e 25. Ou seja, cada curva de nível representa um círculo com raio entre 3 e 5 unidades, indicando pontos na chapa onde a temperatura é constante.