Uma chapa plana de metal D=(x, y): 9 <= x^2+y^2 <= 25, está situada no plano- x y de modo que a temperatura T(em^circ C) no ponto (x, y) in D é dada por T(x, y)=x^2+y^2.
© Descreva as isotérmicas, isto é, as curvas de nível de T que representam pontos onde a temperatura é constante.

Passo 1

Então, a gente tem uma chapa plana de metal definida pela região $ D = {(x, y) : 9 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25} $. A temperatura nessa chapa, em qualquer ponto $ (x, y) $, é dada por $ T(x, y) = x^{2} + y^{2} $. Nosso objetivo aqui é descrever as isotérmicas, que são as curvas onde a temperatura é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função de temperatura dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como a temperatura $ T(x, y) $, é o conjunto de pontos $ (x, y) $ onde a função assume um valor constante. No nosso caso, essas curvas representarão todas as posições na chapa onde a temperatura é igual a um valor fixo $ k $.

Passo 3

Agora, vamos definir matematicamente as isotérmicas. Queremos encontrar todas as curvas onde $ T(x, y) = k $, onde $ k $ é uma constante. Substituindo a expressão da temperatura, temos:
T(x, y) = k
Essa é a equação geral das isotérmicas.

Passo 4

A equação $ x^{2} + y^{2} = k $ representa uma circunferência no plano $ xy $ com raio $ \sqrt{k} $. Portanto, cada isotérmica é uma circunferência centrada na origem, e o valor de $ k $ determina o tamanho do raio.

Passo 5

Como a região $ D $ está limitada por $ 9 \leq x^{2} + y^{2} \leq 25 $, os valores de $ k $ devem satisfazer $ 9 \leq k \leq 25 $. Isso significa que as isotérmicas vão variar desde círculos com raio $ 3 $ (pois $ \sqrt{9} = 3 $) até círculos com raio $ 5 $ (pois $ \sqrt{25} = 5 $).

Resposta

As isotérmicas são circunferências centradas na origem com equação $ x^{2} + y^{2} = k $, onde $ k $ varia entre 9 e 25. Ou seja, cada curva de nível representa um círculo com raio entre 3 e 5 unidades, indicando pontos na chapa onde a temperatura é constante.

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