Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
Passo 1
A questão pede para calcular o valor principal de Cauchy da integral
Estamos em Análise Complexa, usando o Teorema dos Resíduos para integrar no eixo real fechando em semicírculo no semiplano superior.
Passo 2
Para aplicar o Teorema dos Resíduos, definimos a função complexa
Note que, quando |z|→∞, f(z)=O(1/|z|^3), ou seja, o arco de raio R→∞ não contribui. Precisamos achar os polos de f no semiplano Im(z)>0.
Passo 3
Os polos de f estão em z^2+1=0 ⇒ z=±i e em z^2+2z+2=0 ⇒ z=-1±i. No semiplano superior ficamos com z=i e z=-1+i.
Passo 4
Para z=i, que é polo simples em z^2+1, o resíduo é
Passo 5
Para z=-1+i, polo simples de z^2+2z+2, usamos o fator derivada:
$$\operatorname{Res}(f,-1+i)=\frac{z_0}{(z_0^2+1),2z_0+2}\quadcomz_0=-1+i.
Passo 6
Somando os resíduos no semiplano superior:
$$\Bigl(\tfrac{1}{10}-\tfrac{i}{5}\Bigr)+\Bigl(-\tfrac{1}{10}+\tfrac{3i}{10}\Bigr)=\tfrac{i}{10}.
Passo 7
Portanto, o valor principal de Cauchy da integral é dado por
.
Resposta
-\pi/5