Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.

Passo 1

A questão pede para calcular o valor principal de Cauchy da integral
integral-infty^infty x,dx(x^2+1)(x^2+2x+2)
Estamos em Análise Complexa, usando o Teorema dos Resíduos para integrar no eixo real fechando em semicírculo no semiplano superior.

Passo 2

Para aplicar o Teorema dos Resíduos, definimos a função complexa
f(z)=z(z^2+1)(z^2+2z+2)
Note que, quando |z|→∞, f(z)=O(1/|z|^3), ou seja, o arco de raio R→∞ não contribui. Precisamos achar os polos de f no semiplano Im(z)>0.

Passo 3

Os polos de f estão em z^2+1=0 ⇒ z=±i e em z^2+2z+2=0 ⇒ z=-1±i. No semiplano superior ficamos com z=i e z=-1+i.

Passo 4

Para z=i, que é polo simples em z^2+1, o resíduo é
Res(f,i)=limzto i(z-i)z(z^2+1)(z^2+2z+2) =i(i+i)(i^2+2i+2) =i2i,(1+2i) =12(1+2i) =1-2i10 =110-i5

Passo 5

Para z=-1+i, polo simples de z^2+2z+2, usamos o fator derivada:
$$\operatorname{Res}(f,-1+i)=\frac{z_0}{(z_0^2+1),2z_0+2}\quadcomz_0=-1+i.
Res(f,-1+i)=z0(z0^2+1),2z0+2com z0=-1+i z_0^2+1=1-2i,\quad 2z_0+2=2i,$$
z0^2+1=1-2i, 2z0+2=2i,

Passo 6

Somando os resíduos no semiplano superior:
$$\Bigl(\tfrac{1}{10}-\tfrac{i}{5}\Bigr)+\Bigl(-\tfrac{1}{10}+\tfrac{3i}{10}\Bigr)=\tfrac{i}{10}.
l(tfrac110-tfraci5r)+l(-tfrac110+tfrac3i10r)=tfraci10 íP.V.\int_{-\infty}^{\infty}f(x),dx=2\pi i\sum\operatorname{Res}=2\pi i\cdot\frac{i}{10}=-\frac{2\pi}{10}=-\frac{\pi}{5}.$$

Passo 7

Portanto, o valor principal de Cauchy da integral é dado por -pi/5.

Resposta

-\pi/5

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