Use, se possível, a Regra de L’Hospital para calcular os limites abaixo:
lim x 12-1x-2x-12

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \ limxtotfrac12 -tfrac1x - 2x - tfrac12 usando a regra de L’Hospital, que é um método para lidar com formas indeterminadas do tipo 0/0. Vamos precisar de: a) reconhecer a indeterminação; b) confirmar as hipóteses da regra; c) derivar numerador e denominador; d) avaliar o novo limite.

Passo 2

Primeiro confiro a indeterminação substituindo x=tfrac12 diretamente: o numerador fica \ -l(tfrac1tfrac12-2r) = -l(2-2r)=0 e o denominador é \ tfrac12 - tfrac12=0. Logo temos 0/0, cabendo a aplicação de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que, se f(x)to0 e g(x)to0 quando xto a e ambas são deriváveis perto de a com g'(x)neq0, então \ limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x) Aqui definimos \ f(x) = -l(tfrac1x - 2r) e g(x) = x - tfrac12

Passo 4

Agora calculo as derivadas. Para f(x) = -l(1/x - 2r) = -1/x + 2, usamos a regra de derivação de potências: \ f'(x) = ddxl(-x^-1r) + ddx(2) = (-1)(-1)x^-2 + 0 = 1x^2 E g'(x) = ddx(x - tfrac12) = 1

Passo 5

Substituo em L’Hospital e avalio no ponto x=tfrac12: \ limxtotfrac12 -tfrac1x - 2x - tfrac12 = limxtotfrac12f'(x)g'(x) = 1/(tfrac12)^21 = 1(1/4) = 4

Resposta

4

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