Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
Passo 1
O enunciado pede o valor principal de Cauchy da integral impropria
Isso envolve o conceito de integral imprópria com simetria infinita e cálculo de limite simétrico para obter o PV (principal value).
Passo 2
Para simplificar, fazemos uma divisão algébrica do integrando:
Assim, o PV até um corte simétrico
$$
PV®=\int_{-R}{R}\frac{x{2}}{x{2}+1},dx=\int_{-R}{R}1,dx-\int_{-R}{R}\frac{1}{x{2}+1},dx.
$$
Passo 3
Calculando cada parte:
Portanto
$$
PV®=2R-2\arctan®.
$$
Passo 4
Tomando o limite
:
Resposta
A integral diverge — não existe valor principal de Cauchy finito.