Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.

Passo 1

O enunciado pede o valor principal de Cauchy da integral impropria
integral-infty^infty x^2x^2+1,dx
Isso envolve o conceito de integral imprópria com simetria infinita e cálculo de limite simétrico para obter o PV (principal value).

Passo 2

Para simplificar, fazemos uma divisão algébrica do integrando:
x^2x^2+1=1-1x^2+1
Assim, o PV até um corte simétrico R é
$$
PV®=\int_{-R}{R}\frac{x{2}}{x{2}+1},dx=\int_{-R}{R}1,dx-\int_{-R}{R}\frac{1}{x{2}+1},dx.
$$

Passo 3

Calculando cada parte:
integral-R^R1,dx=2R,
integral-R^R1x^2+1,dx=2arctan(R)
Portanto
$$
PV®=2R-2\arctan®.
$$

Passo 4

Tomando o limite Rtoinfty:
limRtoinfty(2R-2arctan(R))=limRtoinfty2R-pi=+infty

Resposta

A integral diverge — não existe valor principal de Cauchy finito.

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