Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
integral-infty^infty sen x d xx^2+4 x+5

Passo 1

Vamos avaliar o valor principal de Cauchy da integral integral-infty^infty sin xx^2+4x+5,dx. Vamos usar técnicas de análise complexa, mais precisamente o teorema dos resíduos e o lema de Jordan.

Passo 2

Note que sin x = Im(e^ix), então podemos escrever
I = integral-infty^infty sin xx^2+4x+5,dx = Iml(integral-infty^infty e^ixx^2+4x+5,dxr) = Im(Ie)

Passo 3

Para calcular Ie = integral-infty^infty e^ixx^2+4x+5,dx, consideramos a extensão para o plano complexo
f(z)=e^izz^2+4z+5
fechando o contorno no semiplano superior, pois e^iz decai quando Im z>0 (lema de Jordan). As raízes de z^2+4z+5=0 são
z = -2pm i,
apenas z1=-2+i fica no semiplano superior.

Passo 4

O resíduo de f em z1 é dado por
sabendo que Res(f,z1)=limzto z1(z-z1)e^iz(z-z1)(z-z2)=e^iz1z1-z2, e z2=-2-i, temos

Passo 5

Pelo teorema dos resíduos,

Passo 6

Finalmente, extraindo a parte imaginária:
I = Im(Ie)=Iml(pi e^-1(cos(-2)+isin(-2))r)=pi e^-1(-sin2)=-pi e^-1sin2

Resposta

-\pi e^{-1}\sin2

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