Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
Passo 1
Vamos avaliar o valor principal de Cauchy da integral
. Vamos usar técnicas de análise complexa, mais precisamente o teorema dos resíduos e o lema de Jordan.
Passo 2
Note que
, então podemos escrever
Passo 3
Para calcular
, consideramos a extensão para o plano complexo
fechando o contorno no semiplano superior, pois
decai quando
(lema de Jordan). As raízes de
são
apenas
fica no semiplano superior.
Passo 4
O resíduo de
em
é dado por
sabendo que
e
, temos
Passo 5
Pelo teorema dos resíduos,
Passo 6
Finalmente, extraindo a parte imaginária:
Resposta
-\pi e^{-1}\sin2