Nas equaçÔes abaixo, decida quando o método dos coeficientes a determinar poderå ser utilizado para encontrar uma solução particular da equação.
y^prime prime+2 y^prime-y=t^-1 e^t

Passo 1

O enunciado pede para analisar se dá para usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular da equação y''+2y'-y=t^-1e^t. Isso envolve o tema de equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas.

Passo 2

O método dos coeficientes a determinar funciona somente quando o termo forçado f(t) é combinação linear de funções cujas derivadas permanecem no mesmo espaço gerado por elas. Tipicamente usamos quando f(t)=P(t)e^at, com P(t) polinomial, ou f(t)=e^atsin(bt), etc.

Passo 3

No nosso caso f(t)=t^-1e^t. Aqui o fator t^-1 não é polinomial, e suas derivadas geram potências de t no denominador cada vez maiores, saindo do espaço de polinômios.

Passo 4

Concluímos que não se cumpre a hipótese necessária para o método dos coeficientes a determinar, porque t^-1 não é polinomial e, portanto, o método não se aplica a este termo forçado.

Resposta

O método dos coeficientes a determinar não pode ser utilizado, pois t^-1e^t não é da forma P(t)e^at com P(t) polinomial.

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