Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
integral-infty^infty cos x d x(x+a)^2+b^2 ; com b>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor principal de Cauchy da integral convergente integral-infty^inftycos x(x+a)^2+b^2,dx, com b>0. Vamos usar propriedades de transformadas de Fourier, mudança de variável e o resultado conhecido integral-infty^inftycosalpha xx^2+b^2dx = pibe^-b|alpha|.

Passo 2

Fazendo a substituição y = x + a, então dx = dy e o intervalo de integração continua de -infty a +infty. A integral vira
integral-infty^inftycos x(x+a)^2+b^2dx = integral-infty^inftycos(y-a)y^2+b^2dy

Passo 3

Expandimos cos(y-a) usando a fórmula de ângulo composto:
cos(y-a) = cos ycos a + sin ysin a
Assim a integral separa-se em duas partes, uma com fator cos a e outra com fator sin a.

Passo 4

Observamos que sin yy^2+b^2 é função ímpar, logo
integral-infty^inftysin yy^2+b^2dy = 0
Portanto sobra apenas o termo com cos y.

Passo 5

Usamos o resultado padrão de transformada de Fourier:
integral-infty^inftycos yy^2+b^2dy = pibe^-b

Passo 6

Por fim, multiplicamos o resultado tfracpibe^-b pelo fator cos a que surgiu na expansão, reconstruindo o valor da integral original.

Resposta

pibe^-bcos a

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