Determine o valor principal de Cauchy de cada uma das seguintes integrais convergentes.
com
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor principal de Cauchy da integral convergente
, com
. Vamos usar propriedades de transformadas de Fourier, mudança de variável e o resultado conhecido
.
Passo 2
Fazendo a substituição
, então
e o intervalo de integração continua de
a
. A integral vira
Passo 3
Expandimos
usando a fórmula de ângulo composto:
Assim a integral separa-se em duas partes, uma com fator
e outra com fator
.
Passo 4
Observamos que
é função ímpar, logo
Portanto sobra apenas o termo com
.
Passo 5
Usamos o resultado padrão de transformada de Fourier:
Passo 6
Por fim, multiplicamos o resultado
pelo fator
que surgiu na expansão, reconstruindo o valor da integral original.