Determine o valor principal da potência complexa dada:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor principal da potência complexa
. Vamos usar o conceito de exponenciação de números complexos via logaritmo principal e conversão para forma polar.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
em forma polar
. Calculamos
e
(no ramo principal). Logo,
Passo 3
Em seguida, lembramos que a potência complexa no ramo principal é dada por
onde é o logaritmo principal. Aqui , então
Passo 4
Agora substituímos
e na definição:
Por fim, escrevemos em forma trigonométrica:
Resposta
e^{-\pi}\bigl(\cos(3\ln2)+i\sin(3\ln2)\bigr)