Determine o valor principal da potência complexa dada: (1+raiz3 i)^3 i.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor principal da potência complexa (1+raiz3i)^3i. Vamos usar o conceito de exponenciação de números complexos via logaritmo principal e conversão para forma polar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos z=1+raiz3i em forma polar re^itheta. Calculamos theta=arctan(raiz3/1)=pi/3 e z=2e^ipi/3 (no ramo principal). Logo,

Passo 3

Em seguida, lembramos que a potência complexa no ramo principal é dada por
onde é o logaritmo principal. Aqui , então

Passo 4

Agora substituímos w=3i e na definição:
Log z
Por fim, escrevemos em forma trigonométrica:
(1+raiz3i)^3i=expl(3i(ln2 + ipi/3)r)=exp(3iln2 - pi)=e^-pie^3iln2

Resposta

e^{-\pi}\bigl(\cos(3\ln2)+i\sin(3\ln2)\bigr)

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