Seja f(x)=a x^2+b3 x+2 a função tal que a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=1 é y=25 x+85. Determine a e b.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a e b na função racional f(x)=a x^2+b3x+2, sabendo que a reta tangente ao seu gráfico em x=1 é y=tfrac25x+tfrac85. Vamos usar teoria de derivada de quociente e condição de tangência (mesmo ponto e mesma inclinação).

Passo 2

Primeiro, exigimos que o ponto (1,f(1)) esteja na reta y=tfrac25x+tfrac85. Calculamos
f(1)=acdot1^2+b3cdot1+2=a+b5

Passo 3

Na reta, quando x=1 vale
y(1)=25cdot1+85=2+85=2

Passo 4

Igualando as duas expressões de y no ponto de tangência, vem
a+b5=2Longrightarrow a+b=10

Passo 5

Agora usamos a regra do quociente para encontrar f'(x). Se u(x)=a x^2+b e v(x)=3x+2, então
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 = (2a x)(3x+2)-(a x^2+b)cdot3(3x+2)^2

Passo 6

Avaliamo-la em x=1:
f'(1)=2acdot1,(3cdot1+2)-3(acdot1^2+b)(5)^2 = 10a-3(a+b)25=7a-3b25

Passo 7

Como a inclinação da reta tangente vale tfrac25, impomos
7a-3b25=25Longrightarrow7a-3b=10

Passo 8

Agora resolvemos o sistema linear
a+b=10,7a-3b=10

Passo 9

Da primeira equação vem b=10-a. Substituindo na segunda:
7a-3(10-a)=10Longrightarrow7a-30+3a=10Longrightarrow10a=40Longrightarrow a=4

Passo 10

Então b=10-4=6.

Resposta

a=4 e b=6

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